Ableitung mit Hilfe der Produktregel f(x) =(x+1)² * e^{-x}

Question

ich hab ein großen Probleme bei dem ich einfach nicht weiter weiß !

Letztens haben wir folgende Aufgabe in der Schule gerechnet :

f(x) =(x+1)² * e^{-x}

dabei wurde es wie folgt abgeleitet :

u = x²+2x+1

u`= 2x+2

v = e^-x

v`= -e^-x

Leider habe ich einfach kein Ahnung wie ich  auf u und u` kommen soll..

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Danke :)

Answer 1

Naja, Du hast hier ein Produkt mit 2 Faktoren, nämlich

(x+1)^2 und e^-x

Der erste Faktor wird jetzt u genannt und der zweite v.

u = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1

v = e^-x

Die Produktregel lautet (u*v)' = u'*v + u*v'

Deshalb brauchen wir jetzt noch u' und v'

u' erhalten wir nach dem alten Schema: Exponent * Faktor und dann Exponenten um 1 verringern, also:
u' = 2*x + 2

v' ist etwas schwieriger zu berechnen, da es sich ja aus der inneren Funktion -x ("das, was Du zuerst ausrechnen würdest") und der äußeren Funktion e^ ("das was Du als zweites ausrechnen würdest") zusammensetzt.
Hier rechnest Du die Ableitung der inneren Funktion -x aus, diese lautet -1

Die Ableitung der äußeren Funktion ist e^-x, weil ja die Ableitung von e^x auch e^x ist.
Dann musst Du noch die Ableitung der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren Funktion multiplizieren,
also ist

v' = -1 * e^-x

= - e^-x

Answer 2

Hi,

das was hier verwandt wird, ist die Produktregel.

Um die Ableitung von u besonders einfach zu machen, wurde u=(x+1)²=x^2+2x+1 also als Summe geschrieben.


Dann klar, wie das ganze funktioniert? ;)


Grüße