Ableitung der Funktion f(x) = 1/x mit Hilfe der Produktregel herleiten

Question

Aufgabe:

ich soll die Funktion

f(x) = 1/x ableiten

dabei wurde angegeben, dass

f, g : R \ {0} → R und g(x) = x

f(x) * g(x) = 1

Problem/Ansatz:

Das Problem welches ich bei dieser Aufgabr habe ist, dass in der Aufgabenstellung steht, dass wir die Profuktregel anwenden sollen

Sonst hätte ich die mkt der Quotientenformel gelöst.

Ich weiß jetzt hier nicht was u(x) und wad v(x) ist und wie ich die als Produkt aufschreiben kann und muss ich f(x) mit g(x) irgendwie kpmbinieren.

Danke für alle Antworten

MfG

Answer 1

f(x) = x
g(x) = 1/x
f(x)*g(x) = 1

Produktregel:

(f(x)*g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Auflösen nach g'(x)

(f(x)*g(x))' - f'(x) * g(x) ) / f(x) = g'(x)

Alles einsetzen

(0 - 1 * 1/x)/x = g'(x)
-1/x² = g'(x)

Answer 2

Wenn f(x) gegeben ist mit

f(x) = a / x

Dann können wir auch schreiben

f(x) = a * x^{-1}

mit u(x) = a und v(x) = x^{-1}

Das können wir jetzt gemäß der Produktregel ableiten. Obwohl man es normal mit der Faktorregel machen würde.

f'(x) = 0 * x^{-1} + a * (-1) * x^{-2} = -a * x^{-2} = -a/x^2

Comments

a = 1 in der derzeitigen Version der Frage. (?)

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Genau. a = 1.

Ich wollte es nur etwas allgemeiner halten.

Answer 3

Wenn f(x) = 1/x und f(x) * g(x) = 1, dann ist g(x)=x. Außerdem ist (f(x) * g(x))' =0.

Nach der Kettenregel gilt: (f(x) * g(x))' = g'(x)·f(x)+g(x)·f '(x)

Hier alles einsetzen,was bekannt ist: 0=1·\( \frac{1}{x} \) + x·f '(x).

Dann nach f '(x) auflösen: f '(x)= - \( \frac{1}{x^2} \) .

Answer 4

1/x = 1*x^(-1)

u = 1 → u'=0

v= x^(-1) → v' = -1/x^2

--> 0*x^(-1)+1*(-1)/x^2 = -1/x^2