Bestimmen sie mit Hilfe der LaPlace Transformation die spezielle Lösung der DGL

Question

x' + 2x = t                   mit x(0)=1

LaPlace Transformation   ( L=LaPlace Transformation)

L(x)=(L f(t) - x(0))/(s + a)       mit f(t)= Störfunktion

Hier:

L(x)=(L(t) - 1)/(s + a)            laut Tabelle spezieller LaPlace Transformation Punkt 4:  Bildfunktion von t=1/s²

      =(1/s² - 1)/(s + a)

      =1/(s² (s + a) - 1/(s+a)

Nun ist die Frage, ob ich soweit erstmal alles richtig gemacht habe, denn nun habe ich folgendes Problem:

Ich finde zu dieser Bildfunktionen keine Original-Funktionen in der Tabelle.

Kann mir Jemand weiter helfen ?

Answer 1

Du mußt einsetzen:

x= F(s)

x'=-x(0) +s*F(s)

eingesetzt in die Aufgabe ergibt das:

-1 +s*F(s)+2 F(s)=LT (t) ---------<sind sonst geschweifte Klammern

umgestellt nach F(s):

F(s)) =(1+s^2)/((s^2 *(s+2))

Jetzt mut Du eine Partialbruchzerlegung machen , mit dem Ansatz.

(1+s^2)/((s^2 *(s+2)) =A/s +B/s^2 +C/(s+2)

=1/(2*(s^2))+5/((4*(s+2)) -1/(4s)

Jetzt gehst Du in die Tabelle und erhältst:

x(t)=1/4(2*t +5 *e^{-2t} +1)

Comments

Ein Abschreibfehler ist mir passiert. Es muß natürlich-1 sein.

Answer 2

Hi,
ich weiss nicht so genau was Du da mit der Funktion \( f(t) \) machst. Zu Transformieren ist doch die Dgl.

\( x'(t)+2x(t)=t \) mit \( x(0)=1 \)

Die Laplace Transformation angewendet ergibt

$$ sX(s)-x(0)+2X(s)=\frac{1}{s^2} $$

Weil  \( x(0)=1 \) gilt folgt also $$ X(s)=\frac{s^2+1}{s^2(s+2)} $$

Polynomdivision führt zu $$ X(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{s^2}+\frac{5}{s^2(s+2)} $$

Bei dem letzten Term machst Du eine Partialbruchzerlegung und das führt insgesamt zu

$$ X(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{s^2}+\frac{5}{4}\frac{1}{s+2}-\frac{5}{4}\frac{1}{s}+\frac{5}{2}\frac{1}{s^2}=\frac{5}{4}\frac{1}{s+2}-\frac{1}{4}\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\frac{1}{s^2} $$

Die inverse Laplace Transformation führt zur Lösung

$$ x(t)=\frac{5}{4}e^{-2t}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}t $$

Es gilt \( x(0)=1 \) wie gefordert und durch differenzieren und einsetzten in die Dgl. sieht man auch, dass die Lösung die richtige ist.