Du mußt einsetzen:
x= F(s)
x'=-x(0) +s*F(s)
eingesetzt in die Aufgabe ergibt das:
-1 +s*F(s)+2 F(s)=LT (t) ---------<sind sonst geschweifte Klammern
umgestellt nach F(s):
F(s)) =(1+s^2)/((s^2 *(s+2))
Jetzt mut Du eine Partialbruchzerlegung machen , mit dem Ansatz.
(1+s^2)/((s^2 *(s+2)) =A/s +B/s^2 +C/(s+2)
=1/(2*(s^2))+5/((4*(s+2)) -1/(4s)
Jetzt gehst Du in die Tabelle und erhältst:
x(t)=1/4(2*t +5 *e^{-2t} +1)