Hallo.
Es ist leicht zu zeigen, dass für immer weitere Produkte aus n-tem ungeradem Faktor mit einer n-ten Dreieckszahl, beides beginnend mit 1, außer trivial 1, nur ein Wert > 1 gegeben ist, der ohne echte Primteiler (Primfaktoren) aus den Formen 6n±1 sein kann. Denn es gibt nur drei Dreieckszahlen > 1, die selbst ohne echte Teiler aus den Formen 6n±1 auskommen. Diese sind, bei der hier betrachteten Folge, mit den Cofaktoren 3, 5 und 15 verknüpft,
3·3
5·6
15·36.
Für diese Folge sind kleiner eine Billiarde nur 1² und 3² quadratisch. Interessanterweise gilt Gleiches für die zentrierten kubischen Zahlen (die beiden Folgen haben kleiner 1 Billiarde nur 1² und 3² gemein, und es gibt tatsächlich einen sehr interessanten Zusammenhang zwischen diesen beiden Folgen (in Verknüpfung mit der Zahl 1729)).Ferner kann man zentrierte kubische Zahlen auch auch als Summe immer weitere ung. aufeinanderfolgender Zahlen darstellen, in der Art:
1
2+3+4=3²
5+6+7+8+9=35
10+11+12+13+14+15+16=91
...
Somit ist gerade die quadrische zentrierte kubische Zahl 3² mit der längsten natürlichen Folge aus nicht primen Zahlen (Summanden) aus den Formen 6n±1, die keine Primteiler aus den 6n±1 Formen besitzen, verknüpft.
Die fortlaufenden Differenzbeträge der n-ter Glieder dieser beiden Folgen müssen den fortlaufenden Differenzen aus n-ten Kuben und n-ten Dreieckszahlen entsprechen, n3 - n·(n+1)/2.
Erweiterte Frage: kann es für diese beiden Folgen außer trivial und 3² weitere quadratische Ausdrücke geben?
