Hallo.
Es wurde von mir unterlassen die Überschrift in Frageform zu fassen. Die Frage in Kurzform : Gibt es größer 26 weitere 2er Potenzen, die um 2 erhöht, Dreieckzahlen sein können?
Für die oben gezeigten quadratischen, um 2 zu erhöhenden 2er Potenzen mit der Eigenschaft, dass sie dann Dreieckszahlen sind, sollte (ohne Beachtung des kleinsten Falles), noch der Zusammenhang der sich ergebenden Dreieckzahlen mit den quadratischen Summen 2er aufeinanderfolgender Dreieckszahlen betont werden. Betrachtet man aufeinanderfolgende, übernächste, überübernächste, usw. zwei Dreieckszahlen, jeweils summiert, gilt, ausgehend von T(n)+T(n+1)=(n+1)², dass sich die Summen für zwei Dreieckzahlen, deren Durchlaufindices als Differenzbetrag einen ungeraden Ausdruck liefern, um 2,6,20,30,... erhöhen, also um eine Summandenfolge, die die gliedweise verdoppelte Folge der Dreieckszahlen darstellt. Daran ist nichts Ungewöhnliches.
Es gilt i.b.
1+3=22 --> 0+6=6
28+36=43 --> 21+45=66 (in diesem Fall wird von den beiden Dreieckszahlsummanden 28,36 respektive 7 abgezogen und 3² hinzugefügt ,-- dabei ist das einzige p aus den Formen 6n±1, das, in den Fermatschen Quotienten (2p-1 -1)/p eingesetzt, einen quadratischen Ausdruck liefert, p=7 (der einzig weitere Fall ist p=3), es ergibt sich 3², ein Quadrat das sich wiederum im Zusammenhang mit dem kleinsten Fall für den (ap-1 -1) ≡ 0 mod p² ist, eben 83-1 -1 , betrachten läßst (zu jeder Primzahl p gibt es Fälle von a, für das a(p-1) -1 ≡ 0 mod p² ist).
(Die Lösungen der je zwei überübernächsten Dreieckszahlen, die summiert 6, bzw. 66 ergeben, sind in den beiden Fällen diskrete Lösungen für generell zwei Dreieckszahlen als Summanden).
Wenn es keine quadratischen 2er Potenzen > 43 gibt (Annahme), die um 2 erhöht Dreieckszahlen sein können, können außer den überübernächsten Dreieckszahlen 0,6, und 21,45, keine weiteren gegeben sein,deren jeweilige Summen, um 2 gemindert, quadratische 2er Potenzen liefern. [Nota: das gehört vielleicht nicht unbedingt hierhin, es mag jedoch von Interesse sein, dass a) bestimmte der 20 Aminosäuren merkwürdigerweise mehrfach mit Basentriplets codiert sind (hier geht es kombinatorisch letztlich um den Wert 43), und die fünf Anzahlen, die man findet,1,2,3,4 und 6 (es fehlt die 5) lauten, wobei diese ersten natürlichen Zahlen als die ersten, die keine echten Teiler aus den Formen 6n±1 haben, definiert werden können, und b) dass deren Summierung offensichtlich 16 ergibt,- und kombinatorisch sich diese 5 Summanden in einen Falle (nicht diskret) in die primen Anzahlen 2 und 3, dergestalt aufteilen lassen , dass die Summierungen 2+3+4=9 und 1+6=7 ergeben (dabei taucht in diesem Zusammenhang die längste Folge von nicht primen Zahlen aus den Formen 6n±1 und ohne echte Teiler daraus auf, 2,3,4). Gliedweise quadriert liefern die fünf Werte summiert 12+22+32+42+62=66. Mann kann natürlich die Folge der quadrierten nicht primen Zahlen aus den Formen 6n±1ohne echte K1 Teiler und einschließlich der multiplikativ neutralen Zahl 1 gliedweise summiert daraufhin betrachten, welche Summenausdrücke Dreieckszahlen > 1 darstellen].
Modulo 24 gibt es einen wichtigen Unterschied zwischen den beiden Fällen mit quadratischen 2er Potenzen 20+2=3
22+2=6
und
26+2=66,
da die 2er Potenzen 20,21,22 modulo 24 die Reste 1,2 und 4 liefern, während die 2er Potenzen mit ung. Exponenten > 1 stets ≡ 23 mod 24 und die mit ger. > 2 stets ≡ 24 mod 24 sind.
Für 2er Potenzen mit ganzzahligen Exponenten >2 müssen daher Dreieckszahlen ≡ 10 oder ≡ 18 mod 24 sein, um,- um 2 gemindert,- 2er Potenzen sein zu können.
