Fortlaufende Summen immer größerer, je 2er aufeinanderfolgender Pyramidenzahlen (506+650=34²)

Question

Betrachtet man die immer größeren jeweils zwei adiacenten Pyramidenzahlen > 0 summiert,so liefern erstmalig die 11. und 12. Pyramidenzahlen summiert eine quadratische Lösung, 506+650=1156=34², was man in einem Zusammenhang mit dem Pellschen Fall 2³ x 6²+1=17² → betrachten kann.

Frage: Gibt es weitere quadratische Lösungen dieser Art, und falls nicht, was zeichnet den Fall 506+650=34² wirklich einmalig aus?

Zumal die einzigen mir bekannten Fälle 2er adiacenter (ganzahliger) Faktoren, die Produkte liefern, die Pyramidenzahlen liefern, 5 x 6=30, 22 x 23=506 und 25 x 26 lauten, was speziell hier zu dem Zusammenhang 2 x (253+325)= 34² führt, also es lieferndas jeweils Doppelte der überübernächsten Dreieckszahlen summiert 506+650=34³. Dabei sind interessanterweise die Ziffern 2 5 3 und 3 2 5 sowie 5 0 6 ,6 0 5 je zwei permutationen gleicher Art.

Comments

Die einzigen drei möglichen Dreieckszahlen T_n,die verdoppelt Pyramidenzahlen p darstellen,stehen in dem Zhg.n²+n=p.Da 2 aufeinanderfolgende Dreiecksz. sum.T _n-1 +T_n=n² liefern u.p=2T,  folgt 2T=p=T_n-1+T_n+n.

Es gilt für die Dreiecksz.15,253,325

a) 30=5²+5=T₄+T₅+5=2·T₅, 506=22²+22 =T₂₁+T₂₂+22=2·T₂₂ u. 650=25²+25=T ₂₄ +T₂₅+25= 2·T₂₅,

b) 30=6²-6=T₅+T₆-6=2·T₅,506=23²-23 =T₂₂+T₂₃-23=2·T₂₂ u.650=26²+26=T₂₅+T₂₆-26=2·T₂₅.

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Betrachtet man die p Glieder geschlossener Intervalle 2er aufeinanderfolgender Dreieckszahlen T(p-1),T(p) für p=prim=4n+1, liefern  die (p-1)/2 quadratischen Nichtreste  und (p-1)/2 quadratischen Reste für p summiert gleichsam (p-1)/4•p²;  i.b. gilt für das Fermatsche Primmodul p=17, dass die je 2³ qnR und qR summiert 1156=34² liefern werden:
qnR --> 139+141+142+143+146+147+148+150=34²
qR --> 137+138+140+12²+145+149+151+152=34²
Nun kann man i.b. für das 4n+1 Primmodul p=17 empirisch feststellen, dass die je 2³ quadratischen Nichtreste und quadratischen Reste (ohne Nullkongruenz) des Primmoduls p=17, diskret so zu je zwei Quadrupeln kombiniert werden können, dass diese Reste jeweils  summiert UND quadriert summiert gleichsam ≡ 0 mod 17 Ausdrücke liefern,- es gilt:
quadratische Nichtreste: 3+5+12+14=34, 6+7+10+11=34 und 3²+5²+12²+14²=374, 6²+7²+10²+11²=306
quadratische Reste: 1+4+13+16=34, 2+2³+3²+15=34 und 1²+4²+13²+16²=442, 2²+(2³)²+(3²)²+15²=374.
Teilt man die obig betrachteten 17-1=16 Reste des geschlossenen Intervalls 136,153 nach dieser Kombination auf, werden die je vier Reste summiert gleichsam 1156/2=578 liefern.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Fortlaufende Summen immer größerer, je 2er aufeinanderfolgender Pyramidenzahlen und die Suche nach weiteren quadratischen Lösungen

Um die Frage nach weiteren quadratischen Lösungen dieser Art zu beantworten, ist es hilfreich, ein tieferes Verständnis der zugrundeliegenden mathematischen Strukturen zu haben. Zuerst wollen wir definieren, was unter Pyramidenzahlen zu verstehen ist und wie sie berechnet werden. Anschließend untersuchen wir, wie diese speziellen Summen von zwei aufeinanderfolgenden Pyramidenzahlen in Beziehung zu quadratischen Lösungen stehen könnten.

Pyramidenzahlen

Die n-te Pyramidenzahl, auch tetraedrische Zahl genannt, repräsentiert die Anzahl von gestapelten Kugeln in einer Pyramide mit einer quadratischen Basis. Sie wird berechnet durch die Formel:

\( P(n) = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} \)

Diese Zahlenfolge beginnt mit 1, 4, 10, 20, 35, usw.

Analyse des vorgegebenen Falles

Im gegebenen Fall werden die 11. und die 12. Pyramidenzahlen betrachtet:

- \(P(11) = \frac{11 \cdot 12 \cdot 13}{6} = 286\)
- \(P(12) = \frac{12 \cdot 13 \cdot 14}{6} = 364\)

Hier scheint ein Irrtum vorzuliegen, da laut der Aufgabenstellung die 11. und 12. Pyramidenzahlen 506 und 650 sein sollen. Tatsächlich sind dies jedoch die 22. und 23. tetraedrische Zahlen:

- \(P(22) = \frac{22 \cdot 23 \cdot 24}{6} = 506\)
- \(P(23) = \frac{23 \cdot 24 \cdot 25}{6} = 650\)

Die Summe \(506 + 650 = 1156\), was tatsächlich \(34^2\) ist.

Suche nach weiteren Lösungen und Einzigartigkeit des Falls

Die Frage, ob es weitere derartige quadratische Lösungen gibt, verlangt eine Analyse der genauen Bedingungen, die solche Lösungen ermöglichen. Wir müssen die Beziehung zwischen den Pyramidenzahlen und den quadratischen Zahlen betrachten. Eine direkte Formel zu finden, die ausdrückt, wann die Summe zweier aufeinanderfolgender Pyramidenzahlen ein Quadrat ergibt, ist komplex.

Jedoch lässt sich feststellen, dass eine solche Summe mit einer quadratischen Lösung auch die Kenntnisse über diophantische Gleichungen erfordert, speziell die Anwendung auf Pellsche Gleichungen, welcher in der Frage erwähnt wurde. Pellsche Gleichungen sind von der Form \(x^2 - Dy^2 = 1\), wobei \(D\) eine nicht-quadratische ganze Zahl ist.

Eine tiefere Analyse erfordert eine Betrachtung der algebraischen Qualitäten der Pyramidenzahlen und ihrer Beziehung zu quadratischen Gleichungen. Der spezifische Fall \(506 + 650 = 34^2\) könnte eine Kombination spezifischer numerischer Eigenschaften darstellen, die ihn einmalig macht. Ohne eine allgemeine Lösung oder ein systematisches Vorgehen, das es erlaubt, alle möglichen Fälle zu überprüfen, bleibt unklar, ob weitere solche Fälle existieren.

Fazit

Der vorgebrachte Fall von \(506 + 650 = 34^2\) basierend auf Pyramidenzahlen ist sicherlich interessant und wirft Licht auf die faszinierenden Beziehungen zwischen verschiedenen Arten mathematischer Sequenzen und Gleichungen. Die Frage nach weiteren quadratischen Lösungen bleibt jedoch ohne eine systematische Untersuchung offen. Die Einzigartigkeit dieses Falles könnte durch spezielle numerische Konstellationen und die Beziehung zu Pellschen Gleichungsfällen unterstrichen werden, was eine detailliertere mathematische Untersuchung erfordert, um zu überprüfen, ob und wie weitere Fälle gefunden werden können.