Zeige, daß es für immer größere drei aufeinanderfolgende, kubische Summanden, neben den zwei einzig-möglichen

Question

Kann es für 3 aufeinanderf.,kubischeSummand.,nebst den 2 mögl. GER.Sum.ohne echte 6n±1 Teiler6²,6³,nochUNG.solche geb.?

Es soll gezeigt werden, dass es für immer größere drei aufeinanderfolgende,kubische Summanden,neben den zwei einzig-möglichen GER.Summenausdrücken ohne echte 6n±1 Teiler(dieser Teil ist bewiesen)(der kleinste Summand muß dann ung. sein),1³+2³+3³=6², 3³+4³+5³=6³,KEINE UNG.(u.stets teilbare)Summenausdrücke ohne echte 6n-1 oder 6n+1 Teiler geben kann(der kleinste Summand muß dann ger. sein). Dazu folgende Betrachtungen: Der ggT der fortlaufend immer größeren Summen 3er aufeinanderfolgender,kubierter Zahlen ist 3²,die Zerlegcofaktoren der 3² für Summen immer weiterer 3er kubierter,aufeinanderfolgender Summanden, beginnend mit 1³+2³+3³,kann man fortlaufend,in je zwei übernächste zu summierende Tetraederzahlen, beginnend mit 0 und 4,aufspalten.Jetzt kann man in diesen fortlaufenden Summen nach Cofaktoren der 3² suchen,die ebenfalls nicht 6n±1 prime Zahlen m ohne echte 6n-1 oder/und 6n+1 Teiler sind(so dass das Produkt 3²·m ebenfalls ohne echte 6n± Teiler sein wird).Summiert man immer weitere übernächste Tetraederzahlen werden,< 100. Mrd.‚nur‘ u.gleich zu anfangs 2 Summen geliefert,die nicht 6n±1 prime (genauer ger.)Summen ohne echte 6n±1 Teiler darstellen,0+4=4 u.4+20=24.In der Folge der Tetraederzahlen selbst,kann es nur eine nicht 6n±1prime (genauer ger.)Zahl ohne echte 6n±1 Teiler geben,die 4,weil die Werte 2,3 u.4 die längste Folge aufeinanderfolg.nicht 6n±1 primer Zahlen ohne echte 6n±1 Teiler darstellt.Die 4 ist als Summand in 0+4=4 und 4+20=24 jeweils vorhanden.Der 1. Fall 0+4=4 ist natürlich trivial,aber FRAGE:stimmt dann die Annahme,dass es außer dem weiteren 2.Fall 4+20=24 keine weiteren nicht primen Summen 2er übernächster Tetraederzahlen geben kann,die ohne echte Teiler der beiden Formen 6n-1 oder /und 6n+1 sind? Und wie kann man das beweisen?

Comments

Bitte nochmals ohne Abkürzungen und übersichtlicher formulieren. So ist das kaum verständlich und auch nicht beantwortbar.

Handelt es sich um diese Frage: https://www.mathelounge.de/75918/aufeinanderfolgender-einziger-kubischer-ausdruck-beweisen

?

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Ich versuchs nochmal anders,-- desweiteren glaube ich den folgenden Beweis richtig zu erbringen. Das wäre auch meine Frage. Bezüglich der Mathe-Frage 75918 wurde in der Antwort von JotEs  der Beweis erbracht, dass es nur eine Summe 3er aufeinanderfolgender Kuben geben kann, die selbst wieder kubisch ist, 3³+4³+5³=6³. Worauf es in der aktuellen Frage,- aber auch im Zusammenhang mit der Gleichung 3³+4³+5³=6³,- geht, ist die Annahme, dass es unter  den fortlaufenden  Summen 3er aufeinanderfolgender Kuben genau zwei gibt, die zerlegt keine echten Primteiler von den Formen 6n-1(bzw. 6n+5)oder 6n+1 besitzen, soll heißen, die Summen sind nicht ganzzahlig durch beliebige Primzahlen > 3 teilbar, nämlich die Fälle 1³+2³+3³=36=6² u. 3³+4³+5³=216=6³. Zudem gilt die Gleichung Δ_n+3² - Δ_n² = a³+( a+1 )³+(a+2)³  für  natürliche Zahlen 1,2,…, a, n mit n=a-1, für die beiden Fälle also 1³+2³+3³=36 = 6²-0² und 3³+4³+5³=216=15²-3², wobei für den 2. Fall mit n=2 und a=3 die einzigen beiden Primzahlen auftauchen, die nicht der Form 6n±1 sind. Auch in den Exponenten der der 6er Zahlen 6²,6³  treten sie auf.   Man kann die geraden Summen immer weiterer 3er aufeinanderfolgender Kuben gesondert behandelt, da man diese im Zusammenhang mit Oktagonalzahlen (hier ohne die 0) 1,6,19, 44, … betrachten kann (Die Oktagonalzahlen kann man in der Form (2•n³+n)/3 darstellen). Denn es gilt:
1³+2³+3³=6²=6²•1
3³+4³+5³=6³=6²•6
5³+6³+7³=684=6²•19
…
Und da die Verteilung der Zahlen, die keine Primzahlen der Form 6n±1 sind und auch keine echten Teiler der Form 5,7,11,13, … haben (siehe in OEIS, unter A003586) sich unter den natürlichen Zahlen rasch verdünnt , kann der Teilterm  2•n³+n aus der Darstellung (2•n³+n)/3 für die Folge der Oktagonalzahlen  nur mit
2•1³+1=3
2•2³+2=18
Summen liefern, die keine Primzahlen der Form 6n±1 sind und auch keine echten Teiler der Form 5,7,11,13, … haben, denn die Endsummanden n in 2•n³+n steigen natürlich an, also zu ‚langsam‘. Durch 3 geteilt ergeben sie die Cofaktoren der 6² in
1³+2³+3³=6²=6²•1
3³+4³+5³=6³=6²•6
Ungerade Zahlen, die keine Primzahlen der Form 6n±1 sind und auch keine echten Teiler der Form 5,7,11,13, … haben, sind ausschließlich 3er Potenzen , die Zahl 3 und ihre Potenzen sind die einzigen ungeraden Zahlen, die keine echten Primteiler > 3 haben können. 

Die Fälle für die zueinander übernächsten Tetraederzahl-Summanden im Zusammenhang mit ungeraden Summen dreier aufeinanderfolgender Kuben,
2³+3³+4³=99=3²•(1+10)=3²•11
4³+5³+6³=405=3²•(10+35)=3²•45
6³+7³+8³=1071=3²•(35+84)=3²•119
…
die Ausdrücke liefern sollen, die keine echten Teiler der Form 5,7,11,13, … haben(diese Summenausdrücke sind nie prim), müßten also Summen sein, die 3er Potenzen darstellen, T _n +T_n+2=3^m, T hier für Tetraederzahlen). 
Wegen der Verteilung der ungeraden und geraden Glieder in der Folge der Tetraederzahlen können übernächste Tetraederzahlen  beginnend mit 1,10,35,84, … genau die  jeweils 2 übernächsten Glieder sein, von denen eines ungerade und das andere gerade sind. Diese Glieder führen als je 2  Summanden zu ung. Summen.                                                                                                                                                                                   
1.) Man kann feststellen, dass UNG. Summen 2er übernächster Tetraederzahlen nur die Endziffern 1,5 u. 9 haben können, während nichtquadratische Potenzen der 3 für Exponenten größer 0 alternierend nur die Endziffern 3 u.7 liefern. Die im Dezimalsystem auftretenden fünf ung. Endziffern werden hier so in 2 und 3 Glieder aufgeteilt, dass es keine Überschneidungen gibt. Damit reduziert sich die gestellte Frage so:

KANN ES UNG. SUMMEN 2er ÜBERNÄCHSTER TETRAEDERZAHLEN GEBEN, DIE QUADRATISCHE  3er POTENZEN sind?                                                                                                                               

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weiterhin -->

2.) Man kann die Summen übernächster Tetraederzahlen  mit ung. Indices (zählbeginnend mit Index 1 und Tetraederzahl 1) mit (2n+1)•(4n²+4n+3)/3, n=1,2,3… darstellen.  Um die Frage zu beantworten, ob dieser Term zu Ausdrücken führen kann, die keine Primzahlen der Form 6n±1 sind und auch keine echten Teiler der Form 5,7,11,13, … haben, kann der Nenner 3 vernachläßigt werden, da er eine der beiden Primzahlen darstellt, die nicht von den Formen 6n±1 sind, denn, falls der Zähler (2n+1)•(4n²+4n+3), der ja keine Primzahl der Formen 6n±1 liefern kann,  auch keine echten Teiler der Form 5,7,11,13, … hat, wird die Teilung durch 3 daran nichts ändern. Nun sollen die Teilterme 2n+1 und 4n²+4n+3 , n=1,2,3,…, betrachtet werden.                                                                                                                                                

a) Soll  2n+1=m, m keine Primzahl der Formen 6n±1 und auch ohne  echten Teiler der Form 5,7,11,13, … und ferner m stets ungerade sein, also m eine Potenz  größer 1 der Zahl 3 sein,-- muß n =(3^a-1)/2 , a=1,2,… , gelten,- solche n gehören zu den Zahlen, die um1 gemindert ≡ 0 mod 3 sind,- und                                                                                                                                                                                      b) setzt man nun beliebige n=3b+1, b=0,1,2,… in 4n²+4n+3 ein, kann man feststellen, dass die Ausdrücke die geliefert werden, stets ≡ 11 mod  24 sind. Da 3ⁿ Zahlen, n=1,2,… nur die 24er Kongruenzen 3 und 9 haben können, steht fest, dass (2n+1)•(4n²+4n+3) /3 Ausdrücke niemals nichtprim und gleichzeitig ohne echte Teiler der Formen 6n±1 sein können.

facit
Die Fälle 1³+2³+3³=36 = 6²-0² und 3³+4³+5³=216=15²-3² sind diskret.

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Wo studierst du?

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Hallo.

Nein, ich studiere nicht,bin schon was älter. Ich bin hinter bestimmten Fagestellungen her und da tauchen oft überraschende Zusammenhänge auf. Es geht schwerpunktmäßig um Modularithmetik. Und Du?