Teilbarkeit durch beweisen, gdw x als Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen darstellbar ist

Question

Eine ganze Zahl x Element aus Z:

x ist als Summe von drei aufeinander folgenden Zahlen darstellbar⇔ x durch 3 teilbar ist.

Comments

Hier wurde das sogar mal Thema für einen Induktionsbeweis: https://www.mathelounge.de/504875/vollstandige-induktion-aufeinanderfolgenden-naturlichen

Komplizierter geht also auch. Zumindest in die eine Richtung :)

Answer 1

x = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) ist durch 3 teilbar weil ein Faktor 3 ist.

Comments

Würde die Aussage auch für vier aufeinander folgende Zahlen gelten oder eher nicht, weil nicht der Faktor 4 vorhanden ist?

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Vereinfache den Term n+(n+1)+(n+2)+(n+3) und urteile dann selbst.

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damit würde es gehen, da der Faktor 4n dabei wäre. Aber die Frage wat ob es mit der vorherigen Aufgabe gehen würde, aber statt 3 aufeinanderfolgenden Zahlen mit vier aufeinanderfolgenden Zehen(der Rest bleibt gleich).

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Die Summe n+(n+1)+(n+2)+(n+3) BESTEHT aus 4 Summanden!

Und diese Summe ist für keine natürliche Zahl durch 4 teilbar, denn

4n+6 =4n+4+2=4(n+1)+2 lässt bei Teilung durch 4 den Rest 2.

Solltest du hingegen meinen, ob die Summe von 4 aufeinanderfolgenden Zahlen durch 3 teilbar ist: möglich ist es, wenn die kleinste der 4 Zahlen selbst durch 3 teilbar ist.

Answer 2

Jetzt sehe ich erst, dass die Antwort von MC unvollständig ist, weil die genau-dann-wenn-Aussage in beide Richtungen bewiesen werden muss (es sei denn, der verwendete Doppelpfeil war ein Versehen).

Die Gegenrichtung funktioniert etwa so: Wenn die Summe x durch 3 teilbar ist, ist x/3 eine ganze Zahl.

Dann sind auch x/3 - 1 und x/3 + 1 ganze Zahlen, und mit

x/3 - 1 , x/3 und x/3 + 1 existieren tatsächlich drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen mit der Summe x.

Comments

Kann man nicht jede durch 3 teilbare Zahl auch als 3(n + 1) schreiben. Und warum genau genau sollte dann nicht die andere Richtung gelten?

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Kann man nicht jede durch 3 teilbare Zahl auch als 3(n + 1) schreiben.

Natürlich.

Und warum genau genau sollte dann nicht die andere Richtung gelten?

Nach dieser "Logik" würde es bei allen genau-dann-wenn-Aussagen ausreichen, einen Beweis nur ein eine Richtung zu führen.

Wenn jetzt jemand die falsche Behauptung aufstellt: "Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn sie durch 2 teilbar ist" könnte der sich ja auch hinstellen und sagen: "Ich beweise jetzt, dass gilt: Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, ist sie auch durch 2 teilbar. Und warum sollte das dann nicht auch in die andere Richtung gelten?"

Es gilt aber eben nicht, dass jede durch 2 teilbare Zahl auch durch 4 teilbar ist.

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Eine Äquivalenzumformung gilt immer in beide richtungen.

Daher darf ich meine Gleichung auch in beide Richtungen betrachten.

Wenn ich sage eine durch 4 Teilbare zahl ist gerade, kann ich sagen

4 * n = 2 * (2 * n) ist gerade weil der Faktor 2 enthalten ist.

Ich kann es aber nicht umdrehen weil 2 * (2 * n) aber nicht jede gerade Zahl darstellt.

Oben stellt aber 3(n + 1) jede durch 3 teilbare zahl dar und daher darf ich es umkehren.

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Was sollen diese Rechtfertigungen?

Zur Erinnerung: Die Aufgabe lautete:

x ist als Summe von drei aufeinander folgenden Zahlen darstellbar⇔ x durch 3 teilbar ist.

Diese Aufgabe beinhaltet als eine ihrer Teilaufgaben:

Beweise: Wenn die (ganze) Zahl x durch 3 teilbar ist, dann ist x als Summe von drei (ganzen) aufeinanderfolgenden Zahlen darstellbar.

Da steht noch nicht mal etwas von einer ganzen Zahl n oder von einer ganzen Zahl n+1. So etwas muss in dieser Richtung erst definiert/eingeführt werden!

Du hattest bei deinem Beweisversuch der Gesamtaufgabe noch nicht einmal realisiert, dass der Beweis auch in diese Richtung zu führen ist (behauptest aber indirekt, dass du den Beweis auch in diese Richtung geführt hättest).

Vielleicht finden sich andere, die dir hier die Scheuklappen abnehmen wollen.

Ich bin raus.

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Du bist eh beratungsresistent.

"Da steht noch nicht mal etwas von einer ganzen Zahl n oder von einer ganzen Zahl n+1. So etwas muss in dieser Richtung erst definiert/eingeführt werden!"

Gibt es bei den rationalen oder den reellen Zahlen drei aufeinanderfolgende Zahlen? Muss es sich nicht demzufolge automatisch mindestens um eine ganze Zahl handeln?

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In dem Text

Wenn die (ganze) Zahl x durch 3 teilbar ist, dann ist x als Summe von drei (ganzen) aufeinanderfolgenden Zahlen darstellbar.

finde ich n zwar an einigen Stelle als Buchstabe (z.B. viermal in dem Wort "aufeinanderfolgenden"), aber als Variable kommt hier NUR z vor.
Da musst du also nicht darüber schwadronieren, dass ein in der Aufgabe noch nicht einmal erwähntes n ganzzahlig ist.

Das Kompliment der Beratungsresistenz kann ich also mit gutem Gewissen zurückgeben.

Tut mir leid, dass ich mich entgegen meiner Ankündigung doch noch mal melde, aber es geht nicht um dich. Es ist nur Schadensbegrenzung für den Fall, dass andere deinen Unfug lesen. Wer in der Mathematikolympiade einen Beweis nach deinem Muster führt (oder besser: die Hälfte des Beweises nicht führt) wirft die Hälfte der erreichbaren Punkte weg.