a) I) auf zwei Arten:
a) Die Summe von zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist stets ungerade.
Aufeinanderfolgende Zahlen seien n und n+1.
Zugehörige Quadratzahlen sind n^2 und (n+1)^2 .
Summe davon ist n^2 + (n+1)^2 |1. binomische Formel
= n^2 + n^2 + 2n + 1
= 2n^2 + 2n + 1 | 2 ausklammern (vorn)
= 2 * (n^2 + n) + 1
Der erste Summand ist gerade, da 2 ausgeklammert werden konnte.
Insgesamt ist somit n^2 + (n+1)^2 = 2 * (n^2 + n) + 1 ungerade. q.e.d.
b) Die Summe von zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist stets ungerade.
Annahme, die erste Zahl ist gerade, so ist die zweite Zahl ungerade.
Bei der ersten Zahl lässt sich also der Faktor zwei ausklammern. Dieser Faktor ist auch nach der Multiplikation noch Teil der Primfaktorzerlegung der Produktes.
Dasselbe gilt auch bei der Annahme die erste Zahl ist ungerade. Dann ist die zweite Zahl gerade.
q.e.d.
