Produkt mit eFunktion: f:[-2,3]->lR f(x)=x²*e^{-x}. Bestimmen von lokalen und globalen Extrema

Question

Die Aufgabe ist es, die lokalen und globalen Extrema der Funktion f:[-2,3]->lR f(x)=x²*e^-x zu bestimmen. Würde mich hier sehr über einen ausführlichen Rechenweg freuen, gerade da ich noch nicht ganz verstanden habe wie man am besten vorgeht um die lokalen Extrema zu bestimmen.

Comments

Weil x^2*e^{-x} = x^2/ e^x, ist deine Frage eine Vereinfachung von:

https://www.mathelounge.de/134142/kurvendiskussion-extremalstellen-von-f-x-x-x-2-e-x-berechnen

Lies vielleicht die Antwort dort schon mal durch und verfolge die Rubrik 'ähnliche Fragen' solange du hier warten musst.

Answer 1

f ( x ) = x^2 * e^{-x}
Produktregel fürs Ableiten

zunächst
[ e^{Term} ] ´ = e^{Term} *  ( term ´ )

f ´( x ) = 2 * x * e^{-x} + x^2 * e^{-x} * (-1)
f ´( x ) =  2 * x * e^{-x} - x^2 * e^{-x}
f `( x ) = e^{-x} * x * ( 2 - x )
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens 1 der Faktoren 0 ist.
e hoch ist immer ungleich 0
x = 0
2 - x = 0
x = 2
Funktionswerte
f ( 0 ) =  0^2 * e^{-0} = 0
( 0 | 0 )
f ( 2 ) = 2^2 * e^{-2} = 0.54
( 2  | 0.54 ) oder ( 2  |  4 / e^2 )
Montonie > 0
f `( x ) = e^{-x} * x * ( 2 - x ) > 0
x * ( 2 - x ) > 0
x > 0 und 2 - x > 0
x > 0 und x < 2
0 < x < 2 ( steigend )
oder
x < 0 und 2 - x < 0
x < 0 und x > 2
kein gemeinsamer Bereich

Montonie < 0
f `( x ) = e^{-x} * x * ( 2 - x ) < 0
x * ( 2 - x ) < 0
x > 0 und 2 - x < 0
x > 0 und x > 2
x > 2 ( fallend )
oder
x < 0 und 2 - x > 0
x < 0 und x < 2
x < 0 ( fallend )

bis x = 0  fallend
von 0 bis 2 steigend
ab x = 2 fallend

( 0 | 0 ) ist ein Tiefpunkt
( 2  |  4 / e^2 ) ist ein Hochpunkt

Manche Nachweise können auch anders geführt werden
( 2.Ableitung )
Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Deine Antworten haben echt immer einen sehr schönen Umfang, optimal!

Ein riesen Dankeschön von mir an dich :)

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die Antworten haben bei mir 2 Funktionen

a.) dem Fragesteller soll weitergeholfen werden

b.) bei mir selbst soll der Geist  fit gehalten werden.

Interessant ist auch wieviel verschiedene Methoden in einer
Aufgabe angewendet werden

Produktregel
allgemeine Ableitung der e-Funktion
Null Produkt Satz ( 0 * 0 * 0 bleibt null )
Faktorisierung
Einsatz der Monotonie zur Bestimmung
der Art der Extrempunkte.
Fallunterscheidungen

mfg Georg