Ableitungen folgender Aufgaben mit lokalen und globalen Extrema

Question

ich muss für folgende Aufgaben die erste, als auch zweite Ableitung bilden und die jeweiligen Extrema herausfinden. Mir fällt die erste Aufgabe schon wegen der Wurzel schwer. Allgemein gilt für die Aufgaben. Seien I⊂R und F: I → R.

1. I= [-1;1]   f(x) = √(5-4x)

2. I= [1/100;100]  f(x)= x+ 1/x

3. I= [-10;10]     f(x)= Ιx² -3x+2Ι

Die Rechenwege sind mir zum Verständnis sehr wichtig. Ich denke, dass ich die Extrema selbst ausrechnen könnte, es wäre trotzdem sehr nett, wenn ihr zu 1. das ganze vll einmal vormacht.

Answer 1

f(x) = √(5-4x)
f ( x ) = ( 5 - 4x)^{1/2}
Potenzregel
f ´( x ) = 1/2 * ( 5-4x)^{-1/2} * ( -4)
f ´( x ) = -2 * ( 5-4x)^{-1/2}
andere Schreibweise
f ´ ( x ) = -2 / √ ( 5 - 4x )
kann nie 0 werden
( ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler 0 ist )

f ´´( x ) = (-2)*(-1/2) * ( 5-4x)^{-3/2} * (-4)
f ´´( x ) = (-4 ) * ( 5-4x)^{-3/2}
andere Schreibweise
f ´´ ( x ) = -4 / √ ( 5 -4x )^3
kann auch nie 0 werden

Comments

f (x)= x+ 1/x
f ´( x ) = 1 - 1/x^2
f´´ ( x ) = 2 / x^3

f(x)= Ιx² -3x+2Ι

für x^2 - 3x + 2 > 0 gilt
f ( x = x^2 - 3x + 2
f ´ ( x ) = 2x - 3
f ´´ ( x ) = 2

für x^2 - 3x + 2 < 0 gilt
f ( x ) = - ( x^2 - 3x + 2 )
f ( x ) = - x^2 + 3x - 2
f  ´ ( x ) = -2x + 3
f ´´ ( x ) = -2

Answer 2

Vielleicht solltest du erst mal überlegen, was du überhaupt tust. Ich nenne das die Grobskizze.   So wäre bei Beispiel 1 der rechte Rand des Definitionsbereichs zu ermitteln; weil für

5 - 4 x  < 0    ( 1 )

ergibt sich ja gar keine reelle Wurzel mehr. Das wäre  x0 = 5/4 .

" Wurzel " ist eine monotone Funktion; du bist der Mühe enthoben, diese Ableitung zu bilden. Man sollte schon vorher bissele nachdenken.  Wenn du mir nicht glaubst - Übung macht bekanntlich den Meister ...

Zu Beispiel 2 will ich dir mal bissele auf den Zahn fühlen. Was könnte DAS für eine Art Kurve sein? Wenn du jetzt sagst

" Gerade + Hyperbel "

bist du mir schon  auf den Leim gegangen. Es ist mir ehrlich Leid um das Internetportal ===> Cosmiq; da hab ich nämlich noch echt zu gelernt. Das Durchschnittsniveau von denen mag zwar schlechter sein als hier; aber denen ihre Spitzenleistungen sind eindeutig besser wie hier.

Es war eine ganz unverfängliche Extremwertaufgabe - fast schon zu schwer für einen Schüler wie dich. Obwohl sie alle bei Cosmiq wetteiferten wie die Irren.

Und auf einmal denk ich; Mensch ich bin Karl-Egon Eimer der Abwaschbare. Ich transformierte so bissele an dem Problem rum, wie es meine Art ist; aber das Ergebnis stand Glas klar und unabweislich vor meinem Auge. Meine erste Entdeckung bei Cosmiq

" Gerade + Hyperbel = Hyperbel "

Nicht einmal in der Uni haben sie mir das erzählt. Das guckt dich jetzt bloß so komisch an, weil du die gleichseitigen Hyperbeln gewohnt bist mit ihren aufeinander senkrecht stehenden Asymptoten. Dagegen die eine Asymptote ist ja die Winkel Halbierende ( WH )  entsprechend einem Öffnungswinkel von lediglich 45 °

Ja ich stieß auf einen noch fundamentaleren Zusammenhang. Es gilt sogar die Umkehrung; jede Hyperbel besitzt eine Darstellung

f ( x ) =  a x + b / x + c       ( 2 )

Du musst nur das Zeichenblatt richtig rum drehen, dass eine Asymptote vertikal verläuft.

Was ich jetzt NICHT hören wil:

" Mein Lehrer hat das nicht verlangt; das steht nicht in der Aufgabe. "

Ich lege ÄUSSERSTEN Wert darauf, dass du dich erst mal orientierst, in welchem Film dass du bist. Alles andere kommt später. Hier gerade WENN dir das niemand sagt, muss doch wenigstens ich es dir sagen.

Jetzt kommt ein ganz wichtiger Punkt. Die Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion geht immer von Rechts nach Links. Wirst gleich sehen, warum. Die WH , die Asymptote kommt von  ( + °° )   Jetzt war da aber  noch die vertikale Asymptote x = 0 .  Wie ist das asymptotische Verhalten des Grafen, wenn du dich dem Pol von Rechts näherst?  Was dich nämlich zu intressieren hat, ist das VORZEICHEN des Koeffizienten b in der Darstellung ( 2 )  ( Dieser Koeffizient heißt übrigens ===> Residuum )  Du hast ein Beispiel mit b = 1 , also Plus.

Dieses Vorzeichen übernimmst du einfach. Wenn b positiv, geht der Graf von Rechts nach PLUS unendlich; wenn negativ, nach Minus Unendlich ( warum? ) Das ist nämlich der Grund, warum du bitte immer diese Ordnung " von Rechts nach Links " einhältst.

Ach übrigens; was links von dem Pol passiert, ist zu Mindest bei Hyperbeln voll unintressant. Ihre beiden Äste verlaufen nämlich PUNKT SYMMETRISCH gegen den Schnittpunkt ihrer beiden Asymptoten. Bitte rechne das an Hand  deiner Hyperbel nach; und plotte sie raus. Dann prägt sich das nämlich besser ein.

Wir hatten gesagt: Sie kommt von ( + °° )  und haut wieder ab nach ( + °° )   Wir erwarten ( mindestens ) ein Minimum. Finden wir keins, müssen wir uns ernsthaft Sorgen machen. Finden wir mehrere stationäre Stellen, müssten wir uns nochmal Gedanken machen.

Wie gut sind deine Kenntnisse in Differenzialrechnung? Muss ich dir nochwas erklären?

f ( x )  :=  x  +  1 / x     ( 3a )

f ' ( x )  =  1  -  1 / x ²  = 0  ===>  x ( min )  = 1   ( 3b )

Die Probe mit der 2. ableitung hat auch unser Lehrer nie verlangt; Mensch das Rennen ist doch schon gelaufen. Aber bitte; sei schön fleißig ...

Gerade bei der 3 siehst du doch, wie mistverständlich diese ganze Aufgabe formuliert ist. Es geht um eine Betragsfunktion. Natürlich hat die Betragsfunktion auch lokale Minima; gerade dort ist sie aber nicht differenzierbar.

Vergiss nie, dass  SÄMTLICHE Kriterien, die mit Ableitung arbeiten, hinreichend sind, aber keines Wegs notwendig. Najaa zur Abschreckung; die Regel heißt

" y = f ( x ) habe in x0 eine n-fache Nullstelle; n  gerade ( Bereits hier müsstest du dir klar machen, dass das bedeutet: Sie ist (n+1) Mal differenzierbar. ) 

Sie hat in x0 ein Maximum, wenn 

( d/dx ) ^ ( n + 1 )   f ( x0 ) <  0     ( 4 )

entsprechend ein Minimum, wenn die Ableitung ( 4 ) positiv ist.

Nun kann eine Funktion Nullstellen haben; auch lokale Extrema. Sie muss dort aber überhaupt nicht differenzierbar sein.  In Aufg 3 wird erwartet, dass du die ganzen Nullstellen berechnest.  Guck mal, was Pappi alles weiß

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

In deiner Aufgabe hast du ein normiertes ( " monic " ) Polynom.  

x  ²   -  3 x  +  2  =  0      (  5a )

Hast du verstanden, dass ( 5a ) nur ganzzahlige Wurzeln haben kann? Dann weißt du bereits jetzt mehr als dein Lehrer ... Unser Mathelehrer fragte immer

" Ist es selbstverständlich, dass drei Punkte auf einer Geraden liegen?

Ist es selbstverständlich, dass zwei Punkte auf einer Geraden liegen? "

In diesem Sinne

" Angenommen ein Polynom vom Grade 4 711 spaltet einen rationalen Linerarfaktor ( RLF ) ab. Ist es dann selbstverständlich, dass es vollständig zerfällt?

Angenommen ein quadratisches Polynom spaltet einen RLF ab. Ist es dann selbstverständlich, dass es vollständig zerfällt?   "

Angenommen  Polynom ( 5a ) habe die beiden RLF

x1;2  :=  p1;2 / q1;2    ( 5b )

Nein wir machen das jetzt nicht mit der Mitternachtsformel. Du sollst ein Gefühl dafür bekommen, was hier abgeht. Unmittelbar, nachdem ich von diesem " Satz von der rationalen Nullstelle " ( SRN ) erfuhr, entdeckte ich die folgenden beiden pq-Formeln

p1 p2  =  a0  =  2  ( 5c )

q1 q2  =  a2  =  1   ( 5d )

( 5cd )  sind übrigens die schlagende Widerlegung, dass der SRN etwas mit Gauß zu tun hat. Gauß war ein Genie; und er sollte nicht auf ( 5cd ) gestoßen sein? Und in den letzten 200 Jahren wäre niemand so schlau gewesen, hinter ( 5cd ) zu kommen? Völlig abwegig. Ich halte den SRN für die Entdeckung eines anonymen Freizeitmatematikers aus dem Internet; das Dings ist noch keine drei Jahre alt.

( Ach übrigens; WARUM ist Wurzel 2 irrational? )   Gauß ist Kult; warum hat wie gesagt euer Lehrernoch nie davon gehört?

( max Zeichen )

Comments

     Weißt du, dass Gauß testamentarisch verfügte,  in seinen Grabstein sei der Sinus des 17-Ecks einzumeißeln? Makaber ...
   Meine Vermutung. Gauß beschäftigte sich mit der ===> Kreisteilungsgleichung, weil er für sich den Ruhm einheimsen wollte, die quadratur des kreises gelöst zu haben - mit RLF  hatte der nix am Hut ...
   Findest du nicht, dass die Beschäftigung mit Matematik auch sehr intressant sein kann?
   Weißt du, woran mich diese Zuschreibung erinnert

    " Meine Herrn; dat hat schon de jroße Jauß jesaht. "
   "  Eine Frage; schreibt man Gauß mit ' G ' oder mit 'J ' ? "
   " mit Jee meine Herrn; mit Jee. "

    Dieses Skandalon um die Urheberschaft des SRN erinnert mich stark an unseren Relilehrer " Sir Henry "

    " Die Bergpredigt ist nicht autentisch. Kein Wort von dem hat Jesus je gesprochen. "
   "  Aber Herr D; warum steht es dann in der Bibel? "
   " Weil uns der Redakteur sagen wollte, dass Jesus es gesagt hätte, wenn er es denn gesagt hätte ... "

    Du hast verstanden, dass ( 1.5a ) nur die beiden Wurzeln haben kann x1 = 1 ; x2 = 2 . Eine gewisse Zweideutigkeit bleibt allerd8ings noch, weil ja Minus Mal Minus auch Plus ergibt.
   Stichwort: cartesische Vorzeichenregel  ( CV ) ; " zwei Mal Plus "


      0  <  x1  < =  x2    ( 2.1  )

   Ist diese Bedingung jetzt schon hinreichend? Nein; wer sagt uns denn, dass Ansatz  ( 1.5b )  korrekt  ist? ( Hinreichende ) Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer der Vieta von  ( 1.5a )


     p  =  x1 + x2  = 3  ( 2.2 )  ; okay

Ach übrigens; für das Maximum der parabel zu berechnen ( nitte wieder raus plotten ) verzichten wir diesmal auf die Ableitung. Ich predige ja tauben Ohren. Aber Manches setzt sich eben doch durch.

So wissen sämtliche Schüler bei Cosmiq ( von ihren Lehrern; das muss hier lobend erwähnt werden ) dass der Scheitel x0 einer Parabel immer genau in die Mitte zwischen den Knoten fällt; das wäre x0 = 3/2 , asaritmetische Mittel.