Dreieckszahl: Gesucht sind die a!/b! Lösungen dazu und ob diese Lösungen ggf. nicht diskret sind.

Question

Aufgabe:

Gesucht sind u.a. die Lösungen erster Dreieckszahl der Form \( T = a! / b! \)

Gesucht sind

a) die \( a! / b! \) Lösungen dazu (und ob diese Lösungen ggf. nicht diskret sind).

b) ob die Annahme,dass die Dreiecksz.,die der Form T=a·(a+1)·(a+2) sind (solche Zahlen sind immer 6n) eine Teilmenge der T=a/b! sind, stimmen könnte.

Die ersten 4 Dreieckszahlen dieser Art liefern die Lösungen.

6! = 3!/1!=1·2·3

120 = 6!/3!=3·4·5

210 = 7!/4!=5·6·7

990 = 11!/8!=9·10·11

Interessanterweise stellt nächste dieser Zahlen die größte dar, die zugleich Dreiecks-u.Tetraederzahl sein kann, 7140.

Ferner kann man sich fragen,ob diese Art Dreieckz.immer ausschließl.mit den Ziff.0 oder 6 enden.Betrachtet man die stets≡ 0 mod 6 Dreieckszahlen der Form T=a!/b! modulo 4!(weil die Faktoren 2,3 und 4 die längste Folge aufeinanderfolgende Zahlen darstellen, die keine echten Teiler der Form 6n±1 haben (die Primen > 3 sind der Form 6n±1) werden alle vier möglichen (kleinsten) 6er Kongruenzen, 0, 6, 12, 18 geliefert.

7140 ist unter den T=a!/b!,b < a-1,die erste,die nicht der Form T=a·(a+1)·(a+2)ist.

Nachtrag:

Dreieckszahlen der Form T=a·(a+1)·(a+2) lassen sich generell wie die Zahlen der Form n·(n+1)·(n+2) mit (n+2)! / (n-1)! darstellen. Die erste Dreieckszahl, die nicht zugleich das Produkt 3er aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist und sich in der Form (n+2)! / (n-1)! darstellen läßt, ist die 119.Dreieckszahl 7140, die zugleich die 34.Tetraederzahl ist und daher das durch 6 geteilte Produkt der drei aufeinanderfolgende Faktoren 34,35,36 darstellt (das Produkt dieser drei aufeinanderfolgenden Zahlen läßt sich also mit 36! / 33! bilden). Da Dreieckszahlen der Form T=a·(a+1)·(a+2)  durch 6 geteilt Tetraederzahlen liefern und die 6 selbst Faktultät ist, fällt der Fall 7140 auf [nota: zudem gehört diese Dreieckszahlen zu denen, die halbiert wieder Dreieckszahlen sind]. Nächste Dreieckszahlen nach 7140, die der Form T= a!/b!, aber nicht der Form T=n·(n+1)·(n+2) sind, lauten 185136,242556,2162160,8239770.Kleiner 1 Trillion sind folgende fünf Dreieckszahlen der Form T=n·(n+1)·(n+2), 6,120,210,990,258474216. Kann jemand die T= a!/b! Lösungen 7140,185136,242556, 2162160, 8239770 benennen? Und sind diese gegebenfalls diskret? (Soweit mir bekannt, sind die Lösungen nur durch Ausrechnen zu finden).

Comments

Kann man eigentlich gewisse deiner bisherigen Fragen du Dreieckszahlen zusammenfügen / schliessen / … ? Das scheint nicht wirklich ein Gebiet zu sein, mit dem sich viele Mathelounge-user auseinandersetzen. 

Schreibe vielleicht bei den unbeantworteten Fragen einfach mal in einem Kommentar, dass sie weiterhin aktuell sind (oder eben) erledigt.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

a) Lösungen für \( a! / b! \) und Diskretion

Um die Lösungen der Form \( T = a! / b! \) zu finden, die spezifische Dreieckszahlen ergeben, ist es notwendig, zuerst den Begriff der Dreieckszahl genauer zu betrachten. Eine Dreieckszahl ist eine Zahl, die die Form \( T_n = n(n + 1)/2 \) hat, wobei \( n \) eine natürliche Zahl darstellt. Beim Versuch, die spezifischen Lösungen \( a! / b! \) für Dreieckszahlen zu finden, müssen wir also nach Wertepaaren von \( a \) und \( b \) suchen, deren Faktorielle dividiert eine Dreieckszahl ergeben.

Die gegebenen Beispiele in der Fragestellung:
- \( 6! = 720 \) und \( 3! = 6 \), ergibt 720 / 6 = 120
- \( 120 \) ist die \( 7! / 3! = 7·6·5 = 210 \)
- \( 210 \) ist die \( 11! / 8! = 11·10·9 = 990 \)
- \( 990 \) ist und \( 7140 \),

zeigen, dass wir nach Konstellationen suchen, wo \( a-b \) genau drei Einheiten oder mehr beträgt, da sonst keine multiplikative Folge dreier aufeinanderfolgender Zahlen (wie in den Beispielen \( 3·4·5 \), \( 5·6·7 \), \( 9·10·11 \)) entsteht.

Es wird jedoch deutlich, dass diese Lösungen diskret und nicht kontinuierlich sind. Jedes \( a \) und \( b \) ergeben eine spezifische Zahl, und nur bestimmte Kombinationen ergeben Dreieckszahlen der gewünschten Form.

b) Annahme zur Teilmenge \( T=a·(a+1)·(a+2) \)

Die Frage, ob Dreieckszahlen der Form \( T=a·(a+1)·(a+2) \), die ja immer \( 6n \) (weil jedes Produkt von drei aufeinanderfolgenden Zahlen durch \( 6 \) teilbar ist) sind, eine Teilmenge der Dreieckszahlen der Form \( T=a!/b! \) sind, erfordert eine gründliche Untersuchung von beiden Sequenzen.

Die vorgebrachten Beispiele zeigen spezifische Fälle, in denen \( T \) sowohl ein Produkt von drei aufeinanderfolgenden Zahlen als auch als Quotient zweier Faktoriellen darstellbar ist. Dies deutet darauf hin, dass es eine Überschneidung zwischen beiden Mengen gibt, jedoch nicht jeder Wert von \( T=a!/b! \) muss notwendigerweise in der Form \( T=a·(a+1)·(a+2) \) ausdrückbar sein, da \( a \) und \( b \) variabel und nicht aufeinanderfolgende Zahlen sind. Daher kann festgestellt werden, dass die Dreieckszahlen der Form \( T=a·(a+1)·(a+2) \) eine spezielle, aber nicht ausschließliche, Teilmenge der Form \( T=a!/b! \) sein können.

Die spezifische Frage nach der Kongruenz dieser Zahlen modulo 4! und das Enden auf 0 oder 6 deutet darauf hin, dass die Natur der Faktoriellen dazu führt, dass ihre Quotienten bestimmte Primzahlcharakteristiken aufweisen und daher eine typische Verteilung haben, die in einigen Fällen leicht vorhersehbar ist.

Zusammenfassend können die Lösungen für \( a! / b! \) für spezifische Dreieckszahlen wie 7140, 185136, 242556, 2162160, und 8239770 nur durch konkretes Ausrechnen gefunden werden, da sie einer spezifischen und diskreten Logik folgen. Die Annahme, dass Dreieckszahlen der Form \( T=a·(a+1)·(a+2) \) eine Teilmenge der Form \( T=a!/b! \) sind, stimmt bedingt und repräsentiert einen interessanten Schnittpunkt in der Mathematik der Faktoriellen und der Dreieckszahlen.