Füllmenge eines 100-Liter Fasses. Rekursive Folge, Grenzwerte...?

Question

Aufgabe:

Ein Fass mit einem maximalem Fassungsvermögen von 100 Liter enthält 20 Liter Wasser und ist porös. Eine Sisyphusarbeit: Karl-Otto rennt mit einem Eimer hin und her und schüttet in Abständen von einer Minute 5 Liter in den Behälter. Leider sickert umso mehr Wasser durch die Löcher, je weiter das Fass bereits gefüllt ist. Während Karl-Otto hin und her läuft verliert das Fass wieder \( 10 \% \) seines eben noch vorhandenen Inhalts.

(a) Formulieren Sie die Füllmenge des Fasses als rekursive Folge.

(b) Untersuchen Sie die Existenz eines Grenzwertes?

(c) Wird das Fass jemals voll? Falls nicht, wo liegt seine Grenze?

Answer 1

hi

ich habe erst die füllstände in abhängigkeit vom vorherigen füllstand aufgeschrieben,

F₁ = 20
F₂ = F₁ + 5
F₃ = 0.9F₂
F₄ = F₃ + 5
F₅ = 0.9F₃

und dann nach diversen gescheiterten ansätzen wie z.b. .......
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gescheiterter ansatz:
1) F_n = F_n-1 + 5 für gerade n, n >= 2
und
2) F_n = 0.9F_n-1 für gerade n, n >= 3
berechnen lassen.
das kann man für gerade und ungerade n separat umschreiben
1) F_2n = F_2n-1 + 5, n >= 1
2) F_2n+1 = 0.9F_2n, n >= 1
das hat mich schließlich nicht weitergebracht :D
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.... hab ich mir nur die Fn mit ungeradem n angeguckt:
F₃ = 0.9F₂
F₅ = 0.9F₃

dann ergibt sich allgemein für n >= 3, n ungerade:
F_n = 0.9(F_n-2 + 5)
mit dem startwert F_n-2 = F₂ = F₁+5 = 25

Fn sind die füllstände in liter, kurz vor dem nächsten nachschütten.
man erhält eine folge mit den folgengliedern F₃, F₅, F₇, ..., F_n
(a) erledigt

(b) + (c)

man gucke sich die differenzen der ersten paar werte der folge an:

F₃ = 22.5    
F₅ = 24.75    F₅ - F₃ = 2.25
F₇ = 26.775    F₇ - F₅ = 2.025
F₉ = 28.5975    F₉ - F₇ = 1.8225
F₁₁= 30.23775   F₁₁- F₉ = 1.64025

es ist erkennbar, dass der füllstand zwar steigt, aber der anstieg nach jedem
nachschütten immer geringer wird.
daher kann man davon ausgehen, dass die folge konvergiert
zurzeit ist es mir noch nicht gelungen, den grenzwert analytisch zu bestimmen,
lediglich mit einem computerprogramm und das spuckt mir als grenzwert 45 liter aus.
bei einem füllstand von 45 liter kann karl otto bis zum abwinken hin und herlaufen,
aber vor jedem nachschütten wird der füllstand 45 bei liter sein.

Comments

ich hab noch ein bisschen rumgetüftelt und es ist mir gelungen die folge
zu bestimmen.
ich definiere die folge \( a_n \) mit \( a_1 := F_3, a_2 := F_5, a_3 := F_7 \) etc.
dann folgt aus \( F_n=0,9 \cdot( F_{n-2}  + 5)\):
$$ a_1 = 0,9\cdot25 $$
$$ a_2 = 0,9^{2} \cdot 25 + 0.9\cdot5 $$
$$ a_3 = 0,9^{3} \cdot 25 + 0,9^{2} \cdot 5 + 0.9\cdot 5 $$
$$ a_4 = 0,9^{4} \cdot 25 + 0,9^{3} \cdot 5 \cdot 25 + 0,9^{2} \cdot 5 + 0.9\cdot 5 $$
man kann hier schon sehen, dass die glieder hinter dem ersten summenglied, also hinter \(0,9^{n}\cdot 25 \) eine
geometrische reihe bilden und für das n-te folgenglied lässt sich ein bildungsgesetz
erkennen:
$$
a_n = 0.9^{n}\cdot 25 + \sum_{i=1}^{n-1}0.9^{i}\cdot 5\\
$$
wobei die summe rechts vom pluszeichen, wie schon erwähnt, eine geometrische reihe ist.
damit können wir auch den grenzwert der folge berechnen:
$$
\lim_{n \to \infty}a_n = 0.9^{\infty}\cdot 25 + \sum_{i=1}^{\infty}0.9^{i}\cdot 5 = 0+\sum_{i=1}^{\infty}0.9^{i}\cdot 5 = \\
\sum_{i=0}^{\infty}0.9^{i}\cdot 5 - 5 = \frac{5}{1-0.9} - 5 = 45
$$

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verflixt, bei dem term 0,9³ • 5 • 25 ist die 25 natürlich zuviel und muss gestrichen werden :rolleyes:

heißt dann also 0,9³ • 5 :-/