Das unendliche Produkt bzw. Limes der Folge ausrechnen

Question

Berechne das unendliche Produkt π^∞ _n=2 n³-1/n³+1  , d. h. den Limes der Folge p_m= π^m _n=2 n ³-1/n³+1

Ansatz/Problem:

Ich weiß nicht, wie ich mit Produkten oder dem Limes rechnet. Deshalb hoffe ich, dass mir jemand das vorrechnet.

Answer 1

Definiere die Folge \( a_N \) durch$$a_N=\prod_{n=2}^N\frac{n^3-1}{n^3+1}$$Behauptung: Für alle \(N>1\) gilt$$a_N=\frac23\cdot\frac{N^2+N+1}{N(N+1)}.$$Beweis per Induktion über \( N \).
Induktionsanfang: Klar für \( N=2 \).
Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für ein \( N>1\).
Induktionsschritt: Zu zeigen ist, dass die Behauptung für \( N+1 \) gilt.
Nach Induktionsvoraussetzung gilt$$\small a_{N+1}=\frac23\cdot\frac{N^2+N+1}{N(N+1)}\cdot\frac{(N+1)^3-1}{(N+1)^3+1}=\frac23\cdot\frac{N^2+N+1}{N(N+1)}\cdot\frac{N^3+3N^2+3N}{N^3+3N^2+3N+2}$$$$\small=\frac23\cdot\frac{N^2+N+1}{N(N+1)}\cdot\frac{N(N^2+3N+3)}{(N+2)(N^2+N+1)}=\frac23\cdot\frac{(N+1)^2+(N+1)+1}{(N+1)(N+2)}.$$Daraus folgt die Behauptung.
Durch Grenzwertbildung folgt$$\lim_{N\to\infty}a_N=\frac23.$$

Comments

vorerst danke für die tolle Rechnung. Wollte nur noch mal wissen, wie du auf die Gleichung bei der Behauptung kommst. Vor allem das 2/3.

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Das kann man meines Wissens nicht explizit herleiten. Eventuell hilft es, einige Folgeglieder auszurechnen um auf eine derartige Vermutung zu kommen. Möglicherweise kann man sich auch die eine oder andere Anregung bei wolframalpha holen.