Grenzwerte: Beispiele reeller Folgen angeben

Question

Geben Sie Beispiele reeller Folgen (a_n)_n∈ℕ  und (b_n)_n∈ℕ  mit lim a_n = ∞ und lim b_n = 0  an, so dass

lim (a_nb_n) = ∞

 

Ich habe keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll. Würde mich über einen Rechenweg freuen.

Comments

Ich hätte noch eine Frage. Wie ist es, wenn lim (a_nb_n) = c ,   c ∈ ℝ.

Answer 1

Hi,

Nimm

a_n = n^2

und

b_n = 1/n

 

So hast Du a_nb_n = n

 

Das erfüllt die von Dir genannten Forderungen.

Grüße

Comments

Vorab danke für deine Hilfe. Leider verstehe ich nicht wie du auf die oben genannten Zahlen kommst. Außerdem muss man nicht einen Rechenweg aufzeigen?

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Welche Zahlen?

Einen Rechenweg ist hier kaum möglich zu beschreiben. Überlege Dir einfach was mit n passiert, wenn man es grenzwertbetrachtet. Im ersten Fall geht das eindeutig gegen unendlich im zweiten Falle gegen 0...also wie gewünscht. Multipliziert man beide kürzt sich das zu n und das geht wieder gegen unendlich ;).

Answer 2

Als Antwort auf deine zweite Frage: "Wie ist es, wenn lim (a_nb_n) = c ,   c ∈ ℝ."

Z.B. \(a_n=n, b_n=\frac{c}{n}.\) Dann ist \(\lim_{n\to\infty}a_n=\infty, \lim_{n\to\infty}b_n=0, \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}\left(n\cdot\frac{c}{n}\right)=c.\)

Comments

Danke für die tolle Antwort.

Könntest du mir auch sagen, wie es ist, wenn die Folge (a_nb_n) _n∈ℕ beschränkt, aber nicht konvergent ist.

 

Danke.