Limes: Beispiele für Paare reeller Zahlenfolgen für lim a_n=∞ und lim b_n=0

Question

Geben Sie jeweils Beispiele für Paare reeller Zahlenfolgen (an) n∈IN ⊂ IR und (bn) n∈IN ⊂ IR
lim an =∞  und  lim bn =0  (wobei n →∞) an, sodass die Aussage erfüllt ist.

lim ( an  * bb ) = 0

Answer 1

Ich sag das nochmal in anderen Worten: Du suchst zwei Folgen, a_n und b_n. Dabei soll für n->∞ a_n gegen ∞ und b_n gegen 0 gehen, allerdings in der Art, dass b_n quasi schneller konvergiert als a_n.

 

Ein einfaches Beispiel ist das folgende:

a_n = n

b_n = 1/n²

Man sieht leicht, dass die beiden Folgen die Randbedingung der Grenzwerte erfüllen, außerdem gilt:

a_n*b_n = n/n² = 1/n

Also gilt:

a_nb_n →0, für n→∞

Answer 2

Nimm z.B. für an = n die Zähler und für bn = 1/n²