Konvergenz und Grenzwert: Folge a_n = (n+1)/(n²+1) untersuchen

Question

Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen (a_n) n ∈ ℕ ⊂ ℝ auf Konvergenz und ermitteln Sie
ggf. den Grenzwert.

 

a_n =     (n +1) ÷ (n² +1)

 

Mit Erklärung wäre toll. Weiß überhaupt nicht was ich machen soll.... :-/

Answer 1

Gesucht ist vermutlich der Grenzwert für n→∞, also das Verhalten der Folge für sehr große n.

Bei solchen Folgen, die ein Bruch aus zwei Polynomen ist, geht man eigentlich immer gleich vor:

Man klammert sowohl im Zähler als auch im Nenner die höchste Potenz von n aus, das ist in diesem Fall n².

$$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { n + 1 } { n ^ { 2 } + 1 } \right) = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { n ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { n } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) } { n ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) } \right) = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { \frac { 1 } { n } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } { 1 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \right) $$

Für n→∞ gilt nun aber 1/n→0 und 1/n²→0, also lautet der Grenzwert:

$$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { \frac { 1 } { n } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } { 1 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \right) = \frac { 0 + 0 } { 1 + 0 } = \frac { 0 } { 1 } = 0 $$

Answer 2

a_n =     (n +1) ÷ (n² +1)

Um eine Vorstellung zu bekommen, was passiert, wenn n grösser wird, kann man die Folge als Funktion aufzeichnen und auf dem Graphen nur die Punktfolge, die zu natürlichen x-Werten gehören betrachten.

 

Da sieht man sofort, dass für n → Unendlich eine Annäherung an 0 stattfindet.

Der Grenzwert ist also 0. Beweisen kannst du das mit einem allgemeinen festgewählten Epsilon₀ > 0.

In etwa so, wie ich's bei einer Aufgabe vorher

https://www.mathelounge.de/3142/grenzwerte-index-bestimmen-fur-1-3-n-2

versucht habe zu erklären. Je nachdem wie formal ihr den Grenzwert definiert habt, sind hier verschiedene Vorgehensweisen nötig.