Folgen auf Konvergenz untersuchen - Grenzwert

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden reellen Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert:
(a) \( a_{n}:=\frac{12 n^{4}-4 n^{2}+1}{\left(2 n^{2}+1\right)\left(n^{2}+4 n+3\right)} \),

Hänge an dieser Aufgabe. Kann hier jemand diese Aufgabe lösen? Vielen Dank

Answer 1

$$a_{n}:=\frac{12 n^{4}-4 n^{2}+1}{\left(2 n^{2}+1\right)\left(n^{2}+4 n+3\right)}=\frac{ n^4(12-\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^4})}{n^2(2+\frac{1}{n^2})n^2(1+\frac{4}{n}+\frac{3}{n^2})}=\\=\frac{ (12-\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^4})}{(2+\frac{1}{n^2})(1+\frac{4}{n}+\frac{3}{n^2})}\rightarrow \frac{12-0+0}{(2+0)(1+0+0)}=6$$