Seien (an)n∈N und (bn)n∈N zwei konvergente Folgen reeller Zahlen

Question

$$ Seien\quad ({ a }_{ n })_{ n∈ℕ }\quad und\quad ({ b }_{ n })_{ n∈ℕ }\quad zwei\quad konvergente\quad Folgen\quad reeller\quad Zahlen\quad mit\lim _{ \quad \quad n-->\infty  }{ { a }_{ n } } =\quad a\quad und\quad \lim _{ \quad \quad n-->\infty  }{ { b }_{ n } } =\quad b.\quad Beweisen\quad Sie:\lim _{ \quad \quad n-->\infty  }{ { (a }_{ n } } -\quad { b }_{ n })=\quad a-b $$

Answer 1

um zu beweisen lim ( an - bn ) = a - b gehst du so vor:

Sei ε > 0 .  Zu zeigen ist, es gibt ein N ∈ ℕ mit

n>N ==>  |  ( an - bn  )  - ( a-b |  < ε.

bzw.   | ( an - a)  -  (  bn - b ) |   < ε

Nun gibt es aber zu ε/2  ( wegen lim an = a ) ein n1 mit

n > n1  ==>   |  an - a |   < ε / 2    und entsprechend

ein n2 mit  n > n1  ==>   |  bn - b |   < ε  / 2  

Für N = max ( n1, n2 ) gilt also beides und damit 

   |  an - a |   +    |  bn - b |    < ε  

 also auch siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Umgekehrte_Dreiecksungleichung

   | ( an - a)  -  (  bn - b ) |   < ε  q.e.d.