Heißt wohl:
Beweisen Sie zunächst, dass es ein N ∈ ℕ gibt, so dass für
alle n ≥ N gilt:\( |b_n| \ge \frac{1}{2}|b| \)
Sei also b≠0. Wegen \( \lim\limits_{n \to \infty} b_n = b \) folgt mit der GW-Definition:
Für alle ε>0 gibt es ein N ∈ ℕ so, dass für alle n ≥ N gilt:\( |b_n-b | \lt \epsilon \)
Wegen b≠0 gilt |b| > 0 also auch \( \frac{1}{2}|b| \gt 0 \) und wenn man diesen
Wert als ε nimmt hat man: \( |b_n-b | \lt \frac{1}{2}|b| \)
Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung
\( | |b_n|-|b ||\lt \frac{1}{2}|b| \)
\( -\frac{1}{2}|b| \lt |b_n|-|b| \lt \frac{1}{2}|b| \) |+|b|
\( \frac{1}{2}|b| \lt b_n \lt \frac{3}{2}|b| \)
Also insbesondere: \( |b_n| \ge \frac{1}{2}|b| \).
Wende jetzt die GW-Definition an auf \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{b} \).
Sei also ε>0. Dann ist zu zeigen:
Es gibt ein N ∈ ℕ so, dass für alle n ≥ N gilt:\( |\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b} | \lt \epsilon \)
Betrachte dazu \( |\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b} | = \frac{|b - b_n|}{|b|\cdot |b_n|} \).
Aus dem ersten Teil weißt du, dass es ein N1 ∈ ℕ gibt, so dass für
alle n ≥ N1 gilt:\( |b_n| \ge \frac{1}{2}|b| \) .
Also gilt für solche n: \( \frac{|b - b_n|}{|b|\cdot |b_n|} \le \frac{|b - b_n|}{|b|\cdot \frac{1}{2}|b|} = \frac{|b - b_n|}{2 }\).
Wegen \( \lim\limits_{n \to \infty} b_n = b \) hast du auch
Für alle ε>0 gibt es ein N2 ∈ ℕ so, dass für alle n ≥ N2 gilt:\( |b_n-b | \lt \epsilon \)
Wenn man nun M=max{N1,N2} wählt. gilt für n>M sowohl
\( |b_n-b | \lt \epsilon \) als auch \( |\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b} | \lt \frac{|b - b_n|}{2 }\)
also \( |\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b} | \lt \epsilon \). q.e.d.
