Antwort mit KI erzeugt
Ausführliche Erklärung und Beweis der Aussagen
Bevor wir mit den Beweisen beginnen, stellen wir sicher, dass wir alle notwendigen Definitionen und Sätze vorbereitet haben.
Definitionen und Vorbereitungen
1.
Definition der Konvergenz: Eine Folge
(an) konvergiert gegen
a, geschrieben als
an→a, wenn gilt:
∀ϵ>0,∃n0∈N,∀n≥n0 : ∣an−a∣<ϵ.
2.
Satz der Nullfolgen: Wenn
an→0 und
bn→0, dann
an+bn→0.
3.
Skalarmultiplikation und Konvergenz: Wenn
an→a und
α∈R, dann
αan→αa.
Nun beweisen wir die einzelnen Aussagen.
(i) ∃n0∈N∀n≥n0 : ∣an−a∣≤bn und bn→0⇒an→a
Beweis:
Da
bn→0, bedeutet das:
∀ϵ>0,∃N∈N,∀n≥N : bn<ϵ.
Weiterhin sei
n0 die Schranke aus der Voraussetzung, d.h.
∀n≥n0 : ∣an−a∣≤bn.
Setzen wir
n1=max(n0,N). Dann haben wir
∀n≥n1 sowohl
∣an−a∣≤bn als auch
bn<ϵ:
∣an−a∣≤bn<ϵ.
Da dies für jedes
ϵ>0 gilt, folgt daraus
an→a.
(ii) an→a und bn→b⇒an+bn→a+b
Beweis:
Sei
ϵ>0. Da
an→a und
bn→b, existieren
Na und
Nb in
N dergestalt, dass:
∀n≥Na : ∣an−a∣<2ϵ und ∀n≥Nb : ∣bn−b∣<2ϵ.
Setze
N=max(Na,Nb). Dann gilt:
∀n≥N : ∣an−a∣<2ϵ und ∣bn−b∣<2ϵ,
und damit:
∣(an+bn)−(a+b)∣=∣(an−a)+(bn−b)∣≤∣an−a∣+∣bn−b∣<2ϵ+2ϵ=ϵ.
Daraus folgt
an+bn→a+b.
(iii) αan→αa fu¨r α∈R
Beweis:
Sei
ϵ>0. Da
an→a, existiert
N∈N dergestalt, dass:
∀n≥N : ∣an−a∣<∣α∣ϵfu¨r α=0.
Multiplizieren wir mit
∣α∣, so erhalten wir:
∣αan−αa∣=∣α∣∣an−a∣<∣α∣⋅∣α∣ϵ=ϵ.
Daraus folgt
αan→αa.
Durch diese Beweise haben wir die Aussagen (i), (ii) und (iii) gezeigt.