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Aufgabe:

Seien α; a; b ∈ ℝ und seien (an)n∈N, (bn)n∈N Folgen in ℝ. Beweisen Sie folgende Aussagen:

(i)   Aus ∃n0 ∈ ℕ ∀n ≥ n0 : |an − a| ≤ bn und bn → 0 (n → ∞) folgt an → a (n → ∞).

Falls an → a, bn → b für n → ∞, dann gelten:

(ii)   an + bn → a + b (n → ∞).

(iii)   αan → αa (n → ∞).

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Ausführliche Erklärung und Beweis der Aussagen

Bevor wir mit den Beweisen beginnen, stellen wir sicher, dass wir alle notwendigen Definitionen und Sätze vorbereitet haben.

Definitionen und Vorbereitungen
1. Definition der Konvergenz: Eine Folge (an)(a_n) konvergiert gegen aa, geschrieben als anaa_n \to a, wenn gilt:
ϵ>0,n0N,nn0 : ana<ϵ.\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0: |a_n - a| < \epsilon.
2. Satz der Nullfolgen: Wenn an0a_n \to 0 und bn0b_n \to 0, dann an+bn0a_n + b_n \to 0.
3. Skalarmultiplikation und Konvergenz: Wenn anaa_n \to a und αR\alpha \in \mathbb{R}, dann αanαa\alpha a_n \to \alpha a.

Nun beweisen wir die einzelnen Aussagen.

(i) n0Nnn0 : anabn und bn0ana \boldsymbol{\exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_0 : |a_n - a| \leq b_n \text{ und } b_n \to 0 \Rightarrow a_n \to a}

Beweis:
Da bn0b_n \to 0, bedeutet das:
ϵ>0,NN,nN : bn<ϵ. \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N: b_n < \epsilon.
Weiterhin sei n0n_0 die Schranke aus der Voraussetzung, d.h.
nn0 : anabn. \forall n \geq n_0: |a_n - a| \leq b_n.

Setzen wir n1=max(n0,N)n_1 = \max(n_0, N). Dann haben wir nn1 \forall n \geq n_1 sowohl anabn |a_n - a| \leq b_n als auch bn<ϵ b_n < \epsilon :

anabn<ϵ. |a_n - a| \leq b_n < \epsilon.

Da dies für jedes ϵ>0\epsilon > 0 gilt, folgt daraus anaa_n \to a.

(ii) ana und bnban+bna+b \boldsymbol{a_n \to a \text{ und } b_n \to b \Rightarrow a_n + b_n \to a + b}

Beweis:
Sei ϵ>0\epsilon > 0. Da anaa_n \to a und bnbb_n \to b, existieren NaN_a und NbN_b in N\mathbb{N} dergestalt, dass:
nNa : ana<ϵ2 und nNb : bnb<ϵ2. \forall n \geq N_a: |a_n - a| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{ und } \quad \forall n \geq N_b: |b_n - b| < \frac{\epsilon}{2}.

Setze N=max(Na,Nb)N = \max(N_a, N_b). Dann gilt:
nN : ana<ϵ2 und bnb<ϵ2, \forall n \geq N: |a_n - a| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{ und } \quad |b_n - b| < \frac{\epsilon}{2},
und damit:
(an+bn)(a+b)=(ana)+(bnb)ana+bnb<ϵ2+ϵ2=ϵ. | (a_n + b_n) - (a + b) | = | (a_n - a) + (b_n - b) | \leq |a_n - a| + |b_n - b| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.

Daraus folgt an+bna+ba_n + b_n \to a + b.

(iii) αanαa fu¨αR \boldsymbol{\alpha a_n \to \alpha a} \text{ für } \alpha \in \mathbb{R}

Beweis:
Sei ϵ>0\epsilon > 0. Da anaa_n \to a, existiert NNN \in \mathbb{N} dergestalt, dass:
nN : ana<ϵαfu¨α0. \forall n \geq N: |a_n - a| < \frac{\epsilon}{|\alpha|} \quad \text{für } \alpha \ne 0.

Multiplizieren wir mit α|\alpha|, so erhalten wir:
αanαa=αana<αϵα=ϵ. |\alpha a_n - \alpha a| = |\alpha||a_n - a| < |\alpha| \cdot \frac{\epsilon}{|\alpha|} = \epsilon.

Daraus folgt αanαa\alpha a_n \to \alpha a.

Durch diese Beweise haben wir die Aussagen (i), (ii) und (iii) gezeigt.
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