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Ausführliche Erklärung und Beweis der Aussagen
Bevor wir mit den Beweisen beginnen, stellen wir sicher, dass wir alle notwendigen Definitionen und Sätze vorbereitet haben.
Definitionen und Vorbereitungen
1.
Definition der Konvergenz: Eine Folge \((a_n)\) konvergiert gegen \(a\), geschrieben als \(a_n \to a\), wenn gilt:
\(\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0: |a_n - a| < \epsilon.\)
2.
Satz der Nullfolgen: Wenn \(a_n \to 0\) und \(b_n \to 0\), dann \(a_n + b_n \to 0\).
3.
Skalarmultiplikation und Konvergenz: Wenn \(a_n \to a\) und \(\alpha \in \mathbb{R}\), dann \(\alpha a_n \to \alpha a\).
Nun beweisen wir die einzelnen Aussagen.
(i) \( \boldsymbol{\exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \geq n_0 : |a_n - a| \leq b_n \text{ und } b_n \to 0 \Rightarrow a_n \to a} \)
Beweis:
Da \(b_n \to 0\), bedeutet das:
\(
\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N: b_n < \epsilon.
\)
Weiterhin sei \(n_0\) die Schranke aus der Voraussetzung, d.h.
\(
\forall n \geq n_0: |a_n - a| \leq b_n.
\)
Setzen wir \(n_1 = \max(n_0, N)\). Dann haben wir \( \forall n \geq n_1 \) sowohl \( |a_n - a| \leq b_n \) als auch \( b_n < \epsilon \):
\(
|a_n - a| \leq b_n < \epsilon.
\)
Da dies für jedes \(\epsilon > 0\) gilt, folgt daraus \(a_n \to a\).
(ii) \( \boldsymbol{a_n \to a \text{ und } b_n \to b \Rightarrow a_n + b_n \to a + b} \)
Beweis:
Sei \(\epsilon > 0\). Da \(a_n \to a\) und \(b_n \to b\), existieren \(N_a\) und \(N_b\) in \(\mathbb{N}\) dergestalt, dass:
\(
\forall n \geq N_a: |a_n - a| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{ und } \quad \forall n \geq N_b: |b_n - b| < \frac{\epsilon}{2}.
\)
Setze \(N = \max(N_a, N_b)\). Dann gilt:
\(
\forall n \geq N: |a_n - a| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{ und } \quad |b_n - b| < \frac{\epsilon}{2},
\)
und damit:
\(
| (a_n + b_n) - (a + b) | = | (a_n - a) + (b_n - b) | \leq |a_n - a| + |b_n - b| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.
\)
Daraus folgt \(a_n + b_n \to a + b\).
(iii) \( \boldsymbol{\alpha a_n \to \alpha a} \text{ für } \alpha \in \mathbb{R} \)
Beweis:
Sei \(\epsilon > 0\). Da \(a_n \to a\), existiert \(N \in \mathbb{N}\) dergestalt, dass:
\(
\forall n \geq N: |a_n - a| < \frac{\epsilon}{|\alpha|} \quad \text{für } \alpha \ne 0.
\)
Multiplizieren wir mit \(|\alpha|\), so erhalten wir:
\(
|\alpha a_n - \alpha a| = |\alpha||a_n - a| < |\alpha| \cdot \frac{\epsilon}{|\alpha|} = \epsilon.
\)
Daraus folgt \(\alpha a_n \to \alpha a\).
Durch diese Beweise haben wir die Aussagen (i), (ii) und (iii) gezeigt.
