Divergente Folge (an)n∈N in R so, dass für jedes p ∈ N gilt ap+n − an → 0 für n → ∞.

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass es eine divergente Folge (a_n)_n∈N in R derart gibt, dass für jedes p ∈ N gilt
a_p+n − a_n → 0 für n → ∞.

Problem/Ansatz: Ich habe mittlerweile sehr viele Folgen ausprobiert aber keine ergibt das, was ich haben möchte.

Divergente Folgen sind ja beispielsweise (-1)ⁿ oder 2n. Eine Nullfolge ist z.B. 1/n. Ich hab auch einige ähnliche Aufgaben gesehen bei denen man zeigen sollte, dass von zwei verschiedenen divergenten Folgen das 'Produkt' konvergieren kann. Das war für mich dann auch nachvollziehbar aber bei einer Differenz wüsste ich jetzt nicht wie ich da eine konvergente Folge erzeugen soll, noch dazu eine Nullfolge.

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Auf der Seite

https://www.mathelounge.de/895349/zeigen-dass-folge-sqrt-eigenschaft-dass-fur-alle-ein-gibt#c895387

wird eine sehr ähnliche Aufgabe gelöst.

GrußMathhilf

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Hallo, danke für deine Antwort. Ich sehe aber leider gar nicht, inwieweit mir das helfen soll. Ich hab ja noch ein p gegeben und ich soll ja nicht nur zeigen, dass es ne cauchy-folge ist, sondern dass es konvergent zum Grenzwert 0 ist.

Gruß Lisa

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Wo steht, dass Du etwas von einer Cauchy Folge zeigen sollst? Was soll Cauchy Folge sein?

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Schon gut, danke trotzdem

Answer 1

Wähle z.B. die Folge \(a_n=\log(n)\). Diese Folge ist offenbar nicht beschränkt und damit divergent.
Für jedes beliebig gewählte \(p\in\mathbb N\) gilt aber$$a_{p+n}-a_n=\log(p+n)-\log(n)=\log\left(\frac{p+n}n\right)=\log\left(1+\frac pn\right)\xrightarrow{\ n\to\infty\ }\log(1)=0.$$Die Folge besitzt also in der Tat die in der Aufgabe geforderten Eigenschaften.

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Vielen Dank :) das hilft mir sehr