Bestimme das Konvergenzverhalten in Abhängigkeit von β ∈ [0,∞)

Question

Eine Aufgabe, bei der man das Verdichtungskriterium von Cauchy anwenden soll. Aufgabenstellung:

Bestimme das Konvergenzverhalten in Abhängigkeit von  β ∈ [0,∞):

$$ \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( \operatorname { ln } ( n ) ) ^ { \beta } } $$

Ich weiß, dass die Reihe für ß > 1 konvergiert, jedoch nicht warum diese das tut. Kann mir jemand sagen wie ich vorgehen muss? Habe schon die verdichtete Reihe erzeugt, komme nun aber nicht weiter.

Comments

Diese Reihe ist für alle \(\beta\in[0,\infty)\) divergent.

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Nein für ß=0 ist die Reihe doch divergent da der Nenner dann immer 1 ist (x^0 =1) ,also ∑ 1/1 ja 1+1+1+... Usw. Ist -> divergent.

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Ich habe nichts anderes behauptet. Wieso dieses "Nein" am Anfang?

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Oh sorry ich hatte bei dir Konvergent gelesen...aber gut für ein ß ist es divergent nämlich für ß=0 aber wie beweise ich es für die restlichen (0,∞) ? Dazu soll man den verdichtungssatz anwenden und darauf bezieht sich meine Frage denn genau da komme ich nicht mehr weiter

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Das Cauchy-Verdichtungskriterium besagt, dass die Reihe genau dann konvergiert, wenn die verdichtete Reihe konvergiert. Du musst also die Divergenz der verdichteten Reihe für alle \(\beta\) zeigen.

(Und nicht vergessen, vorher zu überprüfen, ob die Voraussetzungen des Verdichtungskriteriums erfüllt sind.)

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Und wie zeige ich das? Die verdichtete Reihe ist ∑ 2^k * 1/((ln(2^k))^ß) aber wie rechne ich weiter? 

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\(\ln(2^k)=k\cdot \ln(2)\). Damit kannst du den Faktor \(\ln(2)^\beta\) vor die Reihe ziehen.

Und den Rest kannst du dir dann nochmal anschauen. Vielleicht hast du da eine Idee.

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Aaaaah okay jetzt hab ich es, das war das was mir gefehlt hat Top!