Muss Folge geordnet sein, um zu konvergieren?

Question

Ich prüfe gerade, ob meine Reihe die Leibnizkriterien erfüllt.

\( \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n \frac {1}{n+2 (-1)^n}} \)

1. alternierend -> nein

2. fallend -> ja

3. Nullfolge -> ja ?

Eigentlich müsste die Folge eine Nullfolge sein, aber die Glieder sind nicht geordnet, also die ersten paar sehen so aus: {1/2, 1, 1/4, 1/6, 1/3, 1/8, ...}

Zählt dass dann trotzdem als Nullfolge ? Bin etwas verwirrt.

Und wenn ich schon mal frage: Eine weitere Frage war, ob die Reihe absolut konvergiert. Habe raus, dass sie divergiert. Eine andere Frage war, ob sie konvergiert. Aber da ich schon vorher gesagt habe, dass sie divergiert, hat sich das damit von selbst beantwortet ?!

Answer 1

"1. alternierend"  ist sie aber sehr bald. Spätestens ab n = 3. 

"2. fallend -> ja "

Monoton fallende Beträge der Summanden wäre schon besser. Zumindest ab einem feststellbaren Zeitpunkt. 

Sonst kannst du die harmonische Reihe z.B. in den positiven Summanden verstecken. 

Du kannst aber bei deinem Beispiel vielleicht ein n angeben, ab dem die Beträge der Summanden monoton kleiner werden. Dann ist die Folge konvergent. 

Wenn nicht: Untersuche mal die Folge der "Überschüsse". 

Comments

1. zählt das denn ? also, wenn "irgendwann" die Vorzeichen anfangen zu wechseln, ist die reihe dann trotzdem alternierend? ich dachte dass muss innerhalb der ersten Glieder deutlich zu erkennen sein.

2. habe es mit |a_n+1| ≤ |a_n| versucht zu lösen und irgendwie ging das bei mir auf, sodass ich am ende 1/n+3 ≤ 1/n+2 stehen hatte, was zeigt, dass meine Folge fallend ist.

3. um auf meine eigentliche frage zurückzukommen: ist es wichtig, dass die Glieder der folge absteigend sind, um eine nullfolge zu sein oder können dir auch durcheinander sein und man sieht trotzdem dass es gegen 0 geht ?

Answer 2

1/2, 1, 1/4, 1/6, 1/3, 1/8, .  nach monoton fallend sieht das aber nicht aus.