Beweisen Sie, dass (bn)n∈N eine Nullfolge ist.

Question

Aufgabe:

i) Sei (an)n∈N eine reelle Nullfolge und (bn)n∈N eine komplexe Folge mit |bn| ≤ an. Beweisen
Sie, dass (bn)n∈N eine Nullfolge ist.

Problem/Ansatz:i) Sei (an)n∈N eine reelle Nullfolge und (bn)n∈N eine komplexe Folge mit |bn| ≤ an. Beweisen
Sie, dass (bn)n∈N eine Nullfolge ist.

Answer 1

(bn)n∈N ist eine Nullfolge, wenn gilt:

\(  \forall \epsilon \gt0  \exists N \in \mathbb{N} \text{ mit } n \gt N ==> |b_n-0| \lt \epsilon \) #

Wegen " (an)n∈N eine reelle Nullfolge" gilt

\(  \forall \epsilon \gt0  \exists N \in \mathbb{N} \text{ mit } n \gt N ==> |a_n-0| \lt \epsilon \) ##

Um # zu beweisen sei also ε>0.

Wegen ##   \(   \exists N \in \mathbb{N} \text{ mit } n \gt N ==> |a_n-0| \lt \epsilon \) ###

                                                           ==>  | a_n | < ε

wegen |bn| ≤ an gilt    -a_n <   |bn| < a_n , also   |b_n| < |a_n|.

Also gilt für das N aus ###   auch   |bn| < ε.         q.e.d.

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