Ringschluss: (an) Cauchy-Folge ==> (bn) Differenzenfolge ist Nullfolge ==> usw.

Question

Morgen Leute,

Beweis mit Ringschluss

Es sei (an)n∈N eine Folge reeller Zahlen. Man beweise oder widerlege die folgenden Implikationen:
(a) ⇒ (b), (b) ⇒ (c), (c) ⇒ (a), wobei

(a) (a_n)_n∈N ist eine Cauchy-Folge;

(b) Die Folge (b_n)_n∈N mit bn = a_n+1 − a_n ist eine Nullfolge;
(c) Für jedes k ∈ N ist die Folge (b_n ^(k))_n∈N mit b_n^(k) = a_n+k − a_n eine Nullfolge

ich brauche Hilfe bitte helft mir weiter ://

habe es auch versucht, habe auch paar Ansätze, die aber höchstwahrscheinlich falsch sind.

Answer 1

(a) nach (b) ist ziemlich schlüssig, wenn du dir die Definition einer Cauchy-Folge ins Gedächtnis rufst:

Eine Zahlenfolge heißt Cauchy-Folge, wenn es eine natürliche Zahl \(N\) gibt, so dass für alle \(n,m\geq N\) gilt: \(|a_n-a_m|<\varepsilon\). 

Bei einer Cauchy-Folge "verdichten" sich die Glieder \(a_n\) mit zunehmendem \(n\) beliebig stark: heißt, die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder wird 0 während der "Reise ins Unermessliche" :)

Sei also nun \((a_n)_n\) eine Cauchy-Folge, dann exisitiert \(N\in \mathbb{N}\), so dass für alle \(m,n\geq N\) gilt: \(|a_n-a_m|<\varepsilon\). Sei weiter \(b_n:=a_{n+1}-a_n\) eine Folge. Nach Voraussetzung gilt, dass \(a_n\) für alle \(m,n\geq N\) eine Cauchy-Folge ist. Insbesondere also auch für \(m=n+1\).

So in der Art... müsste man eventuell noch formalisieren.

Comments

danke erstmal für deine Antwort :)

ich habe das dann so bewiesen:

sei ε >0 ∃n₀ ∈ℕ ,sd. ∀n,m ≥n₀ gilt :

Ι( a_n+1 -a_n)- ( a_m+1-a_m)Ι = Ιa_n+1-a_n - a_m+1+a_m  Ι ≤ Ι a_m+1-a_m  Ι + Ιa_m - a_m+1Ι <ε/2 +∈/2 <ε

so hab ich den beweis durchgeführt ist das denn richtig ?

wenn es falsch ist, wo habe ich den Fehler gemacht also wo habe ich falsch gedacht

danke im voraus

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Hallo,

Warum ist denn |a_{n+1}-a_{n}|Ι ≤ Ιa_{m+1}+a_{m}|?

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das vertsehe ich gerqde selber nicht. Denke habe was ausprobiert aber wohl falsch