Aufgabe:
Sei (xn)n∈ℕ eine Cauchy-Folge in ℚ.
Zeigen Sie:
Angenommen, für alle N∈ℕ gibt es m1, m2 ≥ N mit xm1≤0 und xm2≥0. Dann ist (xn) eine Nullfolge.
Problem/Ansatz:
Um zu zeigen, dass (xn) eine Nullfolge ist, müssen wir zeigen:
Zu jeden ε∈ℚ>0 existiert ein N∈ℕ mit IxnI<ε für alle n≥N.
Da (xn) eine Cauchy-Folge ist, existiert zu jedem ε∈ℚ>0 ein N∈ℕ mit Ixn - xmI<ε für alle m,n≥N.
Meine Frage wäre jetzt: Kann man die xn , xm jetzt einfach mit den m1, m2 aus der Annahme ersetzen?
Also quasi:
Es gilt
Ixm2 - xm1I = Ixm2 + (-xm1)I ≤ Ixm2I + I(-xm1)I = Ixm2I+Ixm1I > Ixm1I < ε.
Und wenn man jetzt "definiert", dass xm1 das gesuchte xn mit IxnI <ε ist, hat man dann die Behauptung bewiesen?
Danke für jegliches Feedback. Ich finde solche Beweise noch schwer, weil mir nicht klar ist, was ich darf und was nicht.
