Beschränkte Folge (an) · Nullfolge (bn) = Nullfolge (an · bn)

Question

Sei \( \left( a _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } \) eine beschränkte Folge und \( \left( b _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } \) eine Nullfolge. Zeigen Sie, dass dann auch \( \left( a _ { n } \cdot b _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } \) eine Nullfolge ist.

Answer 1

Da \(\{a_n\}\) beschränkt ist, existiert ein \(K>0\), so dass \(\vert a_n\vert< K\) für alle \(n\in\mathbb N\) ist. Sei \(\varepsilon>0\) beliebig vorgegeben. Da \(\{b_n\}\) eine Nullfolge ist, existiert ein \(N\in\mathbb N\), so dass \(\vert b_n\vert<\frac\varepsilon K\) für alle \(n>N\) gilt. Es folgt$$\vert a_n\cdot b_n\vert=\vert a_n\vert\cdot\vert b_n\vert< K\cdot\frac\varepsilon K=\varepsilon\text{ für alle }n>N.$$Das bedeutet, dass auch die Folge \(\{a_n\cdot b_n\}\) eine Nullfolge ist.

Comments

Für was steht denn das K?

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\(K\) ist lediglich die Bezeichnung für eine reelle Zahl, die die Eigenschaft hat größer zu sein als jedes \(\vert a_n\vert\). Ansonsten hat das keine weitere Bedeutung. Du könntest diese Zahl auch \(M\) oder \(C\) usw. nennen.

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Hi,  wie kommst du von der Tatsache, dass

| a_{n •} b_n | = |a_n| •|b_n| < ε     

darauf, dass dies auf eine Nullfolge deutet?

gibt es einen Satz, eine Definition o.ä. , der dies dann unmittelbar feststellen lässt

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Das folgt nun unmittelbar aus der Definition für Grenzwerte von Folgen.
Mit \(c_n=a_n\cdot b_n\) und \(g=0\) gilt wie oben gezeigt$$\vert c_n-g\vert=\vert a_n\cdot b_n -0\vert=\vert a_n\vert\cdot\vert b_n\vert<\varepsilon.$$Daher ist \(g=0\) Grenzwert der Folge \(\{c_n\}=\{a_n\cdot b_n\}\).

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okay |bn| < ε wegen der definition aber warum ist bn auch kleiner als epsilon/K ?

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ich weiss auch nicht warum ist bn auch kleiner als epsilon/K ?