Verstehe einen Beweisschritt nicht... Produkt beschränkte Folge mit Nullfolge

Question

In dem Beweis, dass das Produkt einer Nullfolge (x_n) mit einer beschränkten Folge (yn) eine Nullfolge ist, gibt es einen Schritt, den ich einfach nicht verstehe.

Also wir wissen ja, dass es ein r∈ℚ_>0 gibt, so dass Iy_nI ≤ r für alle n∈ℕ.

Somit gilt

Ιx_ny_nI=Ix_nI·Iy_nI ≤ Ix_nI·r.

Soweit komm ich noch. Und mir ist auch klar, dass Ix_nI<ε ist, weil (x_n) eine Nullfolge ist. Aber die nächste Idee ist dann immer, dass Ix_nI≤ \( \frac{ε}{r} \) sein soll und dann sieht es so aus:

Ιx_ny_nI=Ix_nI·Iy_nI ≤ Ix_nI·r ≤ \( \frac{ε}{r} \) · r = ε

Aber, wenn r>1 ist, dann ist doch \( \frac{ε}{r} \) kleiner als ε. Also wie kann man dann noch garantieren, dass Ix_nI kleinergleich \( \frac{ε}{r} \) ist? Vielleicht war ja x_n gerade nur ein minibisschen kleiner als ε und dann liegt \( \frac{ε}{r} \) darunter.

Answer 1

In Deinem Beweis steht vermutlich nicht \(|x_n|< \varepsilon\), so steht es nur in der Def. von Nullfolge.

Schreib Dir die Def. von Nullfolge mal mit einer anderen Bezeichnung auf: ... wenn für alle \(\varepsilon_1>0\) gilt, es gibt .... \(|x_n|<\varepsilon_1\).

In Deinem Beweis gibt man sich ja ein \(\varepsilon\) vor. Setze dann \(\varepsilon_1:=\frac{\varepsilon}r\) und verwende die Vor. "\(x_n\) Nullfolge" damit.

Mit etwas Übung spart man sich diese Zwischenüberlegung und dann sieht es etwas verwirrend aus mit den zwei verschiedenen Bedeutungen von \(\varepsilon\).

Comments

Danke! Ich wusste nicht, dass die Epsilone unterschiedlich sein dürfen.

Also soll ich als Basis verwenden:

Eine Folge heißt Nullfolge, falls zu jedem ε₁∈ℚ_>0 ein N∈ℕ existiert mit Ix_nI<ε₁ für alle n≥N.

Und dann: Setze ε₁=\( \frac{ε}{r} \) .

Und für das übliche "Sei ε∈ℚ_>0 beliebig", ist das dann das ε oder das ε₁ ?

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Ja genau. Dieser Beweis (also der, dass Nullfolge mal beschränkte Folge Nullfolge gibt) fängt dann wie üblich mit "Sei \(\varepsilon >0\)." an. Dann kommt die Abschätzung mit \(r\), die ja für alle \(n\) gilt. Dann weiter: "Zu \(\varepsilon_1:=\frac{\varepsilon}r\) gibt es, da \(x_n\) NF ist, ein \(n_0\) mit...".

Lass bei den Formulierungen nichts weg (auch alles mit \(n_0\)  gehört dazu und jedesmal, für welche \(n\) was gilt).

Und nicht \(\mathbb{Q}\), sondern \(\mathbb{R}\) ist üblicherweise die Grundmenge für Schranken und \(\varepsilon\)'s.

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Ah, ok, danke!

Ja, das mit dem Q ist aus dem Skript, das hat der Dozent so vorgegeben.