Konvergent, die beliebige Folge, Nullfolge, Beschränkt...das Gegenbeispiel?

Question

 Ich brauche eure Hilfe um diese Aufgabe zu lösen:

Zeigen Sie jeweils durch ein geeignetes Gegenbeispiel, dass folgende Aussagen im Allgemeinen

falsch sind.

 a)  a_n beschränkt ⇒ a_n konvergent

b) a_n Nullfolge, b_n beliebige Folge ⇒ a_n · b_n Nullfolge

c) a_n konvergent, b_n beschränkt ⇒ an · bn konvergent

d) a_n → x , b_n  →  y , ∀_n ∈ ℕ  a_n < b_n ⇒ x < y

Answer 1

 

 a)  a_n beschränkt ⇒ a_n konvergent

an = (-1)^n

 

b) a_n Nullfolge, b_n beliebige Folge ⇒ a_n · b_n Nullfolge

an = 1/n,  bn = n .   an*bn = 1 immer also keine NF

c) a_n konvergent, b_n beschränkt ⇒ an · bn konvergent

an = 1 - 0.5^n       bn = (-1)^n.      an*bn = (1-0.5^n)*(-1)^n

Berechne ein paar Werte für an*bn, damit man sieht, was passiert

d) a_n → x , b_n  →  y , ∀_n ∈ ℕ  a_n < b_n ⇒ x < y

an = 1 - 0.5^n          <         bn = 1-0.5^{n+1}

Grenzwert von beiden = 1.