i) Seien (an)n∈N und (bn)n∈N zwei reelle konvergente Folgen mit an ≤ bn fur alle ¨ n ∈ N.

Question

Aufgabe:

i) Seien (an)n∈N und (bn)n∈N zwei reelle konvergente Folgen mit an ≤ bn fur alle ¨ n ∈ N.
Zeigen Sie, dass
limn→∞
an ≤ limn→∞
bn
gilt.
ii) Seien (an)n∈N und (bn)n∈N zwei reelle Folgen. Man schreibt limn→∞
an = +∞, falls
∀C > 0 ∃N ∈ N : an > C ∀n ≥ N.
Beweisen Sie: Falls limn→∞
an = +∞ und die Folge bn > 0 besitzt null nicht als Häufungspunkt, dann gilt
limn→∞
anbn = +unendlich
Problem/Ansatz:

i) Seien (an)n∈N und (bn)n∈N zwei reelle konvergente Folgen mit an ≤ bn fur alle ¨ n ∈ N.
Zeigen Sie, dass
limn→∞
an ≤ limn→∞
bn
gilt.
ii) Seien (an)n∈N und (bn)n∈N zwei reelle Folgen. Man schreibt limn→∞
an = +∞, falls
∀C > 0 ∃N ∈ N : an > C ∀n ≥ N.
Beweisen Sie: Falls limn→∞
an = +∞ und die Folge bn > 0 besitzt null nicht als Häufungspunkt, dann gilt
limn→∞
anbn = +unendlich

Answer 1

Seien (an)n∈N und (bn)n∈N zwei reelle konvergente

Folgen mit an ≤ bn fur alle ¨ n ∈ N.

Sei \(  \lim\limits_{n \to \infty}  a_n = a \)  und  \(  \lim\limits_{n \to \infty}  b_n = b  \)

Dann ist zu zeigen  a≤b. Angenommen es sei a>b. Dann ist \(  \frac{a-b}{2} \gt 0 \)

Also gibt es nach der Grenzwertdefinition ( mit \(  \epsilon = \frac{a-b}{2} \) ) ein N und ein M

mit n>N ==>  \( |b_n-b| \lt \frac{a-b}{2}   \)   und  n>M ==>  \( |a_n-a| \lt \frac{a-b}{2}  \)

Für K=max{N,M}  gilt also für alle n>K

     \( |b_n-b| \lt \frac{a-b}{2}  \)   und  \( |a_n-a| \lt \frac{a-b}{2}  \)

==>       \( \frac{b-a}{2} \lt  b_n-b \lt \frac{a-b}{2}  \)  und \( \frac{b-a}{2} \lt a_n-a \lt \frac{a-b}{2}  \)

==>      \( b-a \lt  2b_n-2b \lt a-b \)  und \( b-a \lt 2a_n-2a \lt a-b \)

==>      \( 3b-a \lt 2b_n \lt a+b \)  und \( b+a \lt 2a_n \lt 3a-b \)

Also für alle n>K hätte man   \(   2b_n \lt a+b \)  und \( b+a \lt 2a_n   \)

 ==>   2b_n  <  2a_n      ==>   b_n < a_n  im Widerspr. zu a_n ≤ b_n für alle n. q.e.d.