Hallo.
Für erste zentrierte kubische Zahlen und den Summen der Glieder der offenen Intervalle immer weiterer je 2er Kuben gibt es, kleiner 1 Billiarde, einen gemeinsames Glied , nämlich die kleinste- zentrierte kubische Zahl, die zugleich eine Carmichael Zahl sein kann (und die zudem die kleinste Zahl ist, die sich auf zwei Weisen als Summe 2er Kuben darstellen läßst), 1729=93+103=13+123, denn sie ist zugleich die Summe der 2·19=38 Glieder des offenen Intevalls der aufeinanderfolgenden Kuben 33, 43. Für den Zusammenhang:
a) die fortlaufenden Summen A immer weiterer 2er aufeinanderfolgender Kuben a3, (a+1)3, und
b) die Summen B der offenen Intervalle immer weiterer 2er aufeinanderfolgender Kuben a3,(a+1)3,
beginnend mit a=1, gilt A·m=B, m die Folge der zentrierten Dreieckszahlen, beginnend mit 4 (die zentrierten Dreieckszahlen kann man als fortlaufende Summen immer weiterer 3er aufeinanderfolgender Dreieckszahlen betrachten, hier beginnend mit der Dreieckazhl 0).
13+23=32 1+2+...+32=62 32·(0+1+3)=32·22=62
23+33=35 23+9+...+33=350 35·(1+3+6)=35·10=350
33+43=91 33+28+...+43=1729 91·(3+6+10)=91·19=1729
...
Zusatz
Daß die zentrierte kubische Zahl 1729 zugleich die Summe der Gliedern im offenen Intervall 2er aufeinanderfolgender Kuben sein kann, führt zu bestimmten Betrachtungen.
a) Zentrierte kubische Zahlen c=a3+b3, (b=a+1) sind als Summen von p=a+b=2a+1 Gliedern im offenen Intervall a2+1, b2 darstellbar (siehe in OEIS, A005898,in den comments, Klaus Strassburger)
b) Von diesen p Gliedern werden die Teilsummen A1,A2 der ersten (p-1)/2-1 und weiteren (p+1)/2+1 Glieder jeweils ≡ 0 mod p sein und der Differenzbetrag dieser beiden Teilsummen A1,A2 wird p² lauten,
und
c) die Cofaktoren m von p in A1,2 =m1,2·p, sind die stets die übernächsten Dreieckszahlen
Δ(p-1)/2-1und Δ(p+1)/2 .
d) Die 10. zentrierte kubische Zahl c =1729 (beginnend mit der zentrierten kubischen Zahl 1) [nota: eine zentrierte kubische Zahl kann auch als Differenzbetrag 2er quadrierter übernächster Dreieckszahlen betrachtet werden, wobei gilt, a3+(a+1)3=(Δa+1)2 - (Δa-1) ] ist möglicherweise (Annahme) die einzige zentrierte kubische Zahl , die nicht nur als Summe der Glieder, deren kleinstes und größstes Glied im Zusammenhang mit den beiden aufeinanderfolgenden Kuben, deren Summe sie ist, steht, sondern zudem als Summe der Glieder des offenen Intervalls 2er aufeinanderfolgender Kuben, darstellbar ist. Hier gilt:
(38 Glieder) 33+28+...43 =1729 (19 Glieder) 82+83+...10²=1729
Hier ist ein diskreter (falls 1729 der einzige Fall dieser Betrachtungen ist) Zusammenhang zwischen den jeweiligen Anfangs-, bzw. Endgliedern der beiden Reihen in den offenen Intervallen 3³,4³ und 34+1,10² und Δ(19-1)/2-1 = 6² und Δ(19+1)/2 = 55 gegeben:
82-33=55 ∧ 102-43=62
[nota: 55 ist unter den 6n±1 Zahlen, beginnend mit 1, das 19. Glied und 36 ist die größste Dreieckszahl, die keine echten Teiler aus den Formen 6n±1 haben kann]
I.
Für p=19 lmüssen die ersten (19-1)/2-1=8 und weiteren (19+1)/2+1=11 Glieder des offenen Intervalls 82,10² jeweils ≡ 0 mod 19 Ausdrücke liefern, für die die respektiven Cofaktoren von p den Dreieckszahl
Δ(p-1)/2-1 = 6² und Δ(p+1)/2 = 55 entsprechen,
82+83+84+85+86+87+88+89=684=19·6² Λ 90+91+92+93+94+95+96+97+98+99+10²=1045=19·55. Der Differenzbetrag dieser beiden Teilsummen muß p² ergeben, Ι684-1045Ι=19². Die Summe der beiden übernächsten dreieckszahligen Cofaktoren 36+55=91 führt auch zu dem kleinsten überübernächsten Dreieckszahlpaar der Form 6n+1, 55,91, die Verteilung dieser Sorte unter den Dreieckszahlen ergibt eine endlose Folge (das nächste solche Paar lautet 253,325),von überübernächten 6n+1 Dreieckszahlpaaren, die mit ihren Diffferenzbeträgen die 36n Zahlen liefern, 55 und 91 sind aber zugleich zweider bis heute bekannten vier Zahlen, die zugleich Dreiecks- und Pyramidenzahlen sein können,- und dabei bestimmt die einzigen so ausgezeichneten Zahlen, die als Pyramidenzahlen aufeinanderfolgend sein können. Die beiden übernächsten 8. und 10. Dreieckszahlen 36 und 55 werden in quadrierter Form als Differenzbetrag 55²-36²=1729 liefern.
II
Betrachtet man die 38 Summanden im offenen Intervall 33,43 werden die ersten und weiteren 19 Glieder, jeweils summiert wiederum die Teilsummen 684=19·6² und 1045=19·55 liefern, und die jeweils ungeraden, bzw. geraden unter den je 19 Gliedern werden respektive die beiden Teilsummen weiter in 10·6²=360 ∧ 9·36=324=18² und 495=9·55 ∧ 550=10·55 zerlegen.
Die Zahl 1729 ist vielfach und teils einmalig ausgezeichnet.
a) Unter um 1 geminderten Carmichael-Zahlen < 1 Mrd.sind zwei gerade Zahlen ohne echte 6n±1 Teiler, und
b) diese sind auch die ersten beiden derer, die, um 1 gemindert Kuben sind, und
c) unter Carmichael-Zahlen .< 2 Mrd.sind vier ,die Kuben sind (davon eben die erst.beiden ohne echte 6n±1 Teiler 1729-1=1728 u.46657-4=46656) und die sind allesamt als Summen 3er Kuben darstellbar, und
d) von diesen vier ist nur die kleinste, 1729, auf zweifache Weise als Summe 2er Kuben darstellbar.
Die Frage war jedenfalls:
Ist der Fall 93+103 = 33+28+29+...+43 = 1729 diskret? Und wenn, wie kann man einen Beweis bringen?
