Potenzen und Komplexe Zahlen: |a|^b immer noch positiv?

Question

Gilt es immer noch, wenn ich eine positive Basis habe, dass - auch bei den komplexen Zahlen - das Ergebnis immer positiv sein wird. Also für den Fall, das b komplex ist:

also: |a|^b > 0

oder gibt es durch i Ausnahmen?

Answer 1

 |a|^b > 0 gilt nicht, wenn b aus C stammen darf

Nimm zB. a = e + 0i          und b = i*phi

Dann ist |a| = e

e^{î*phi}   = cos phi + i sin phi          (gemäss Definition)

für phi von 0 bis 2 pi werden alle Werte auf dem Einheitskreis angenommen. In der komplexen Zahlenebene ist nicht definiert, ob die grösser oder kleiner 0 sind.

Comments

Noch eine Nachfrage: Selbst wenn b jetzt negativ wird, so ist doch das Ergebnis der Potenz immer noch positiv oder?

z. B. 3^-2 = 1/9

Wenn ich dich richtig verstanden habe: 

|a|^b

|e + 0i| ^i*phi

|e| ^{cos phi + i sin phi}

cos phi + i sin phi kann ja jetzt meiner Einsicht nach positiv, negativ, null oder komplex sein. 

Kann nun |e|^Complex negativ werden... ?

Merke gerade, dass ich die Antwort u.U. doch nicht verstanden habe.

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Danke für den Hinweis. Der Exponent in meiner Antwort war an unbeabsichtigter Stelle.

Hier die korrigierte definitive Version.

Dann ist |a| = e

e^î*phi   = cos phi + i sin phi          (gemäss Definition)

 

Deshalb ist nun z.B. e^{i PI} = cos PI  + i sin PI = -1 + 0i = -1.

Aber bei den Winkeln phi ≠ k* PI      (k ganze Zahl)

ist der Imaginärteil gar nicht 0. Die Zahl liegt nicht auf der reellen Achse. Und dort ist gar nicht definiert, ob die Zahl grösser oder kleiner als 0 ist.

Nachtrag: Betrag wirkt hier wie eine Klammer: Zuerst Betrag berechnen e und dann hoch b.