Question

 

wie zeige ich das 3x²+2y²-4xy immer positiv ist?

Danke

Answer 1

Das ist eigentlich falsch, für x=y=0. Aber abgesehen davon geht das so:


x^2 und y^2 sind ja immer positiv, wegen dem Quadrat. Es bleibt also noch zu zeigen dass: 3x^2 + 2y^2 > 4xy.
Wenn eines von x,y oder auch beide negativ sind, ist die ja klar. Also brauchen wir und nur für positive x,y zu intressieren.

3x^2 + 2y^2 > 4xy ⇔ (geteilt durch xy)

3 x/y + 2 (y^2)/(xy) = 3 x/y + 2 (y/x)> 4

x/y ist grösser oder gleich 1. ebenso y/x. Somit ist 3 (x/y) + 2 (y/x) mindestens 5, also größer als 4.


Alles klar? Hoffentlich konnt ich helfen ;).

mfg legendär

Comments

x/y ist grösser oder gleich 1. ebenso y/x. 

Gilt hier nicht 'entweder oder' wenn nicht gerade beide gleich sind? Habe den Eindruck, dass du auf dem richtigen Weg bist.

Wie hast du denn den Fall beide negativ erledigt?

Versuche irgendwie auf die 3. alternative Form umzuformen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=3x%5E2%2B2y%5E2-4xy

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Beide negativ, ist dasselbe, wie beide positiv

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Lu's Winwand bzgl. der x/y und y/x ist vollkommen richtig (auch wenn es ignoriert wird). Die Folgerung "3 (x/y) + 2 (y/x) mindestens 5" ist falsch. Gegenbeispiel: x=3,y=4: 3(3/4)+2(4/3)=9/4+8/3= (9*3+8*4)/12=59/12

Answer 2

3x²+2y²-4xy=y²+2(x²-2xy+y²)=y²+2(x-y)² Als Summe zweier nichtnegativer Terme ist der ganze Ausdruck als nichtnegativ. Der Ausdruck wird Null dann wenn beide Summanden Null werden also falls y=0 und x-y=0, allso nur im Fall x=y=0.