Polynomdivision mit einer komplexen Zahl!

Question

Huhu Leute,

habe hier eine Gleichung mit einer gegeben komplexen Nullstelle und soll alle anderen ermitteln.

An sich kein Problem mit der Polynomdivision, nur wie komme ich von der

Nullstelle z1=2i

zu einer Zahl mit z die ich passend durch die Gleichung

Z=z^4-4z^3+17z^2-16z+52

teilen kann?

 

Danke !

Answer 1

also das habe ich noch nie probiert, laut Wolfram Alpha scheint es aber zu gehen.

Siehe:

Answer 2

$z^4-4z^3+17z^2-16z+52=0$

$z_1=2i$   → $z_2=-2i$

$(z^4-4z^3+17z^2-16z+52):[(z-2i)(z+2i)\\=(z^4-4z^3+17z^2-16z+52):[z^2-4i^2]\\=(z^4-4z^3+17z^2-16z+52):[z^2+4]$

Polynomdivision

  $(z^4-4z^3+17z^2-16z+52):(z^2+4)=z^2-4z+13$

$-(z^4+4z^2)$

.........................

          $-4z^3+13z^2-16z+52$

      $-(-4z^3-16z)$

..................................

            $13z^2+52$

       $-(13z^2+52)$

..............................................

                $0$

  $z^2-4z+13=0$

  $z^2-4z=-13$

   $z^2-4z+(\frac{4}{2})^2=-13+(\frac{4}{2})^2$

 $(z-2)^2=-13+4=-9=9i^2|±\sqrt{~~}$

$1.)$

$z-2=3i$

$z_3=2+3i$

$2.)$

$z-2=-3i$

$z_4=2-3i$