Polynomdivision mit komplexen Zahlen.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die quartische Polynomfunktion
p: C → C, p(z) = z^4-2z^3+3z^2-z+1
für die p(i) = 0 ist.
Bestimmen Sie Parameter a, z1, z2, z3, z4 ∈ C so, daß
p(z) = a(z − z1)(z − z2)(z − z3)(z − z4) für alle z ∈ C
gilt.

Erste Nullstelle ist also i, die Zweite sollte deswegen -i sein. Wenn man die weiteren Nullstellen berechnen will, muss man die Polynomdivision durchführen - könnte mir da bitte jemand helfen?

Vielen Dank.

Problem/Ansatz:

Polynomdivision mit komplexen Zahlen.

Comments

Nach meinen Berechnungen ist p(i) = -1 + i.

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Können Sie bitte die Schritte beschreiben? (bzw. Die Schritte der Polynomdivision aufschreiben? Da das ganze durch (z-i) geteilt wurde, komme ich nicht weiter)

Vielen Dank!

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Da p(i) ≠ 0 ist, ist p nicht ohne Rest durch z-i teilbar. Möglicherweise hat sich ein Tippfehler in den Funktionsterm eingeschlichen. Sollte i tatsächlich eine Nullstelle und alle Koeffizienten reell sein, dann ist auch -i eine Nullstelle. Das Polynom wäre dann ohne Rest durch z² + 1 teilbar.

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Wieso mit z^2+1?

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Weil es dann durch z-i und z+i teilbar ist und damit auch durch das Produkt (z-i)·(z+i) = z²+1.

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die komplexe  Polynomdivision Division läuft wie die reelle

Gruß lul