Polynomdivision. Komplexe Zahlen. p(z) = z^4 + 2z^3 +2z^2 +2z +1

Question

Hallo Ich hab hier schonmal eine solche Frage gesehen, allerdings nicht wikrlich verstanden.
Polynomdivision ist normal für mich auch kein Problem, allerdings in ℂ schon.
Ich weiß nicht durch was ich teilen soll bzw. wie das aus zusehen hat.
Ich weiß wenn alle Koeffizienten reeel sind, ist eine Nullstelle paarweise noch konjugiert vertreten.

Eine Nullstelle ist ja bereits gegeben müsste ich nun durch (z+1) Teilen ?

Wenn Ich das mache, bekomme ich als Restpolynom   z³  +z² +z +1   .... durch was müsste ich nun das teilen ß Durch die Konjugierte von (z+1) also doch durch (z-1)  ?

Aufgabe:
p(z) = z⁴ + 2z³ +2z²  +2z +1
Hinweis: z =-1 ist eine doppelte Nullstelle.

ich wäre um Hilfe echt dankbar, schreibe um 16 uhr meine Klausur, hätte ich das Forum früher gefunden hätte ich mich eher drum bemüht hier was zuschreiben.

Answer 1

Durch die Konjugierte von (z+1) also doch durch (z-1)  ?

nein sicher nicht. bei reellen Nullstellen gibt es keine konjugiert komplexe Zahl, die auch Nullstelle ist. 

Für jede reelle Zahl z  gilt z = zQUER.

Deine Aufgabe

 

p(z) = z⁴ + 2z³ +2z²  +2z +1 
Hinweis: z =-1 ist eine doppelte Nullstelle.

heisst, dass du durch (z+1)^2 = z^2 + 2z + 1 teilen kannst. Probier das mal. 

(z⁴ + 2z³ +2z²  +2z +1 ):(z^2 + 2z + 1) = z^2 + 1

-(z^4 + 2z^3 + z^2)
---------------------------
                           z^2 
                          -(z^2 + 2z + 1)
                      -------------------

                                0

z^2 + 1= 0

z^2 = -1

z₃ = i, z₄ = -i das sind die beiden zueinander konjugiert komplexen Lösungen. z₁ = z₂ = -1 war ja gegeben.

Answer 2

z = -1 soll eine doppelte Nullstelle sein. Daher zweimal dividieren!

(z^4 + 2·z^3 + 2·z^2 + 2·z + 1) : (z + 1) = z^3 + z^2 + z + 1

(z^3 + z^2 + z + 1) : (z + 1) = z^2 + 1

z^2 + 1 = 0
z^2 = -1
z = ± i

Comments

super vielen Dank, das habe ich verstanden, aber was ist wenn ich nicht gewusst hätte das die -1 eine doppelte nullstelle ist, bzw. woher hätte ich dann meine zweite bekommen ? ... Und was sagt mir das nun dass alls koeffizienten reell sind ?

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Eine Funktion dritten Grades muss ja eine reelle Nullstelle haben. Das heißt die musst du suchen wenn sie nicht gegeben ist.

Gerade bei Hausaufgaben könnte man mal schauen was Wolframalpha damit macht.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E4%2B2%C2%B7z%5E3%2B2%C2%B7z%5E2%2B2%C2%B7z%2B1%3D0