komplexe Polynome Polynomdivision und Nullstellen

Question

Aufgabe:

a) hat das komplexe Polynom eine mehrfache Nullstelle?

$$p_3(x) = i(x^2-1)^3+(x^2+1)^3-8x^3$$

b) finde den ggT der folgenden komplexe Polynome:

$$p_1(x) = (1+i)x^6 + (3-3i)x^4-8x^3+(3+3i)x^2+1-i$$
$$p_2(x) = (6+6i)x^5+(12-12i)x^3 - 24x^2 + (6+6i)x$$

Problem/Ansatz:

a) gibt es hier einen Weg um schnell ans Ziel zu kommen?

b) Hier muss man eine Polynomdivision machen, aber mit komplexen Zahlen kenne ich das noch nicht, kann da jemand ein paar Zeilen vormachen?

vg coffee.cup

Answer 1

a)  Nullstelle 1 kann man ja leicht erkennen.

Polynomdivision durch (x-1) ergibt

x^5+x^4+4x^3-4x^2-x-1+(x-1)^2*(x+1)^3*i

und das hat bei 1 auch eine Nullstelle. Also ist die jedenfalls
mindestens 2-fach.

b) Beim ersten Schritt musst du ja p₂ mit (1/6)x multiplizieren,

damit nach dem Subtrahieren der erste Term in p1 weg ist.

Dann steht da untereinander

$$ (1+i)x^6 + (3-3i)x^4  -8x^3+(3+3i)x^2+1-i$$
$$ (1+i)x^6 + (4-4i)x^4  - 4x^3 + (1+i)x^2 $$

und nach dem Subtrahieren bleibt

$$  (-1+i)x^4  -4x^3+(2+2i)x^2+1-i$$

Das ist also der Rest.

Damit hast du als Anfang

$$ p_1=  \frac{1}{6}x \cdot p_2  +  (-1+i)x^4  -4x^3+(2+2i)x^2+1-i$$

Comments

zu a):

Statt der Polynomdivision kann man auch die erste Ableitung

bilden:

\(3i(x^2-1)^2\cdot 2x+3(x^2+1)^2\cdot 2x-24x^2\)

1 ist offenbar eine Nullstelle, also ist 1 eine mindestens 2-fache

Nullstelle.