Komplexe Nullstellen von folgendem Polynom

Question

Aufgabe

Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen des Polynoms

z²+4z+4-i =0

Problem/Ansatz

habe es mit der pq Formel Probiert

$$-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^{2}-q} \\-\frac{4}{2}\pm\sqrt{(\frac{4}{2})^{2}-(4-i)} \\=-2\pm\sqrt{4-(4-i)} \\=-2\pm\sqrt{i} $$

aber wie gehts dann weiter?

Answer 1

Die Gleichung z²=i gilt für \(z_1=0,5\sqrt{2}+0,5\sqrt{2}i\) und \(z_2=-0,5\sqrt{2}-0,5\sqrt{2}i\)

Answer 2

Frag doch:

z^2 = i

(x + y·i)^2 = i

x^2 + 2·x·y·i - y^2 = i

Und jetzt mache einen Koeffizientenvergleich

x^2 - y^2 = 0 → y = ±x

2·x·y = 1 → y = x

2·x·(x) = 1 → x = - √2/2 ∨ x = √2/2

Probe

(√2/2 + √2/2·i)^2 = i

(-√2/2 - √2/2·i)^2 = i

Comments

Verdammt... Ich war gerade am Tippen :)

Ich habe dir mal ein +1 gegeben, weil das auch meine Antwort gewesen wäre, ich hätte dann vielleicht noch hinzuzufügen gehabt, dass man das Ergebnis an dieser Stelle dann direkt ausrechnen kann...

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Ich verstehe nicht, wie die gegebenen Antworten zu der obigen Frage passen.

Die obige Lösung ist doch schon fertig, oder nicht?

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Gesucht ist die komplexe Lösung von

z^2 + 4·z + 4 - i = 0

und das ist

z = - √2/2 - 2 - √2/2·i ∨ z = √2/2 - 2 + √2/2·i

oder näherungsweise

z = -2.707 - 0.707·i ∨ z = -1.293 + 0.707·i

dazu braucht man oben das ± √i eben nur durch meine Lösung ± (√2/2 + √2/2·i) ersetzen.

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Die obige Lösung ist doch schon fertig, oder nicht?

Das kommt darauf an, ob für die Lösungen eine bestimmte Form bzw. "Vereinfachen" gefordert ist. Bei komplexen Zahlen gilt die algebraische Form (Mathecoach) in jedem Fall als einfacher als ein Term mit Wurzel mit nicht reellem Radikand, auch wenn sie hier umständlicher aussieht.

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√i sollte man wie √(-1) eigentlich NIE schreiben. nicht mal in einer nicht vereinfachten Lösung.

Denn die beiden Wurzeln sind so eigentlich gar nicht definiert. Ok. Darum scheren sich viele Nichtmathematiker (wie ich) nicht und rechnen trotzdem einfach damit.

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Der Term  -2 ± √i  steht immer für zwei eindeutig bestimmte komplexe Zahlen, egal welchen der beiden Terme für √i man nimmt.

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Das ist mir durchaus bewusst. Trotzdem vermeiden es die Mathematiker das so zu notieren, weil eben die Wurzel so nicht definiert ist.

Answer 3

Du kannst auch folgenden Weg gehen:

√i =?

i= e^(i*π)/2

√i= e^(i*π)/4

e^(i*π)/4 =cos(π/4) + i sin((π/4) =√2/2 + i * √2/2

----->

= -2 ± (√2/2 + i * √2/2)

Answer 4

Du hast alles richtig gemacht, nun stellt sich die Frage, was \(\sqrt{i}\) ist? Hier die Antwort:$$ i=\frac{1}{2}+i-\frac{1}{2}=\frac{1+2i-1}{2}=\frac{1+2i-i^2}{2}=\frac{(i+1)^2}{2} \\ \Leftrightarrow \sqrt{i}=\sqrt{\frac{(i+1)^2}{2}}=\frac{1}{2}(i+1)\cdot \sqrt{2}$$ Der Trick liegt wie oft in der Mathematik im Addieren einer "narhaften Null".

Comments

Ich zähle momentan nur einen klitzekleinen Fehler. Der kann aber auch gut als Suchsel für den Fragesteller drin bleiben. Dann beschäftigt er sich eventuell damit.

Obwohl ich kein Fan von Wurzeln aus negativen und komplexen Zahlen bin, finde ich diese quadratische Ergänzung trotzdem trickreich.

Daher ein Daumen von mir.