Finde eine Orthonormalbasis für den Unterraum R 2x2

Question

Aufgabe:

Finde eine Orthonormalbasis für den Unterraum

$$<\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}> $$
von $$\mathbb{R}^{2x2}$$

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe weiß ich nicht wie man das Orthonormalverfahren auf Matrizen anwendet, kenne das bisher nur mit einspaltigen Vektoren,

kann da jemand mir einen erklärenden Rechenweg oder Ansatz zeigen, damit ich weiß wie man hier vorgeht ?

vg coffee.cup

Answer 1

Gehört das hierzu :

https://www.mathelounge.de/872554/formel-fur-ein-skalarprodukt-auf-dem-vektorraum-r-2x2

Dann hast du ja das Skalarprodukt gegeben.

Und wenn du nun von so einer Matrix M die Norm berechnen willst,

dann ist das ja die Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst, also

rechnest du ||M|| = √(M,M)  .

Das gibt bei den 3 gegebenen √3    bzw √36  = 6    bzw  √30.

Also wäre die erst normiert

$$\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Und dann wendest du einfach das Gram-Schmidt Verfahren an.

Comments

okay, käme dann diese Basis dabei raus?

\( \left\{\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)\right\} \)