Orthonormalbasis in R^4 bilden

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich denke ich verstehe wie man die Orthonormalbasis von U bildet, jedoch weiss ich nicht welche Vektoren ich hier nehmen kann, da die Darstellung für mich neu ist. Da wir in R^4 sind nehme ich an das es auch 4 Vektoren sein müssen? Wären die Vektoren so richtig? v1= ( x1,x1,-x1,x1) ,v2= ( x2,x2,-x2,x2)...

Dann müsste ich ja nur noch passende Werte wählen und die Vektoren aufeinander abbilden, richtig?

Ich freue mich über jede Hilfe!
LG

Comments

Die Elemente von U müssen die angegebene Gleichung erfüllen. Daher ist die Dimension von U sicher kleiner als 4. Mit $$\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}$$ kannst du das Matrizenprodukt auf der linken Seite auswerten und bekommst vielleicht Ideen für die Dimension und mögliche Basisvektoren von U.

Answer 1

Die Bedingung für U ist ja:

x1+x2-x3+x4=0

Also kannst du 3 Variablen frei wählen, etwa

x1=r und x2=s und x3=t und musst dann nur für

x4= r+s-t nehmen.

Dann sind alle Lösungen von der Art

(r;s;t;r+s-t) =

r*(1;0;0;1) + s*(0;1;0;1)+t*(0;0;1;-1)

also wäre eine Basis für U

(1;0;0;1) , (0;1;0;1) , (0;0;1;-1)

Die kannst du ja nach Gram-Schmidt zu einer

Orthonormalbasis umbauen.