Orthonormalbasis eines Unterraums bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei \( U \subseteq \mathbb{R}^{3} \) der Unterraum, der aus allen Vektoren besteht, die bezüglich des Euklidischen Skalarprodukts orthogonal zu \( (1,-1,2)^{\top} \) sind. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von \( U \).

Problem/Ansatz:

Brauche Hilfe stehe bei der Aufgabe echt auf dem Schlauch.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir unersuchen einen Untervektorraum \(U\) des Vekrorraums \(\mathbb R^3\). Die Bewohner von \(\mathbb R^3\) sind Vektoren der Form \((x;y;z)^T\). Wenn diese Bewohner zusätzlich in \(U\) sein wollen, müssen sie orthogonal zu \((1;-1;2)^T\) sein, das heißt, sie müssen folgende Bedingung erfüllen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=0\implies x-y+2z=0\implies x=y-2z$$Die Bewohner von \(U\) leben daher in einer Ebene:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y-2z\\y\\z\end{pmatrix}=y\underbrace{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}_{\vec u}+z\underbrace{\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}}_{=\vec v}$$Die beiden Richtungsvektoren \(\vec u,\vec v\) der Ebene spannen als Basis den Unterraum \(U\) auf.

Gesucht ist jedoch eine Orthonomalbasis von \(U\), d.h. die Basisvektoren müssen auf die Länge \(1\) normiert sein und orthogonal zueinander stehen.

Die Projektion von \(\vec v\) auf \(\vec u\) liefert uns den Anteil \(\vec v_\parallel\) von \(\vec v\), der parallel zu \(\vec u\) verläuft:$$\vec v_\parallel=\left(\frac{\vec u\cdot\vec v}{\vec u\cdot\vec u}\right)\cdot\vec u=\frac{-2}{2}\,\vec u=-\vec u=\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}$$Der zu \(\vec u\) orthogonale Anteil von \(\vec v\) ist daher:$$\vec v_\perp=\vec v-\vec v_\parallel=\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$$

Normierung der beiden Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v_\perp\) liefert eine Orthonormalbasis:$$\vec b_1=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec b_2=\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$$

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Answer 2

Vektoren, die bezüglich des Euklidischen Skalarprodukts orthogonal zu \( (1,-1,2)^{\top} \) sind.

Sind alle (x,y,z)^T , für die gilt 1*x-1*y+2*z=0 .

Eine Basis dieses Unterraumes von ℝ³ besteht  z.B. aus u=(1,1,0)^T und v=(0,2,1)^T .

Auf die kannst du ja das Gram-Schmidt-Verfahren anwenden.

Oder vielleicht erst mal nur eine orthogonale Basis bestimmen, dazu lässt du

den ersten wie er ist und bildest aus dem 1. und dem 2. eine Linearkomb.,

die zum ersten orthogonal ist, also Ansatz <x*u+y*v,u> = 0

<=>                x<u,u> + <v,u> = 0   oder wenn du mit y=1 arbeitest

                                      <=>   x = -<v,u>/<u,u>

Hier also    x = -2/2=-1 . Also wäre der 2. Basisvektor zu wählen als -u+v=(-1,1,1)^T .

Der erfüllt in der Tat die Gleichung 1*x-1*y+2*z=0  und ist orthogonal zu u.

Also wäre eine orthogonale Basis u=(1,1,0)^T und v'=(-1,1,1)^T .

Jetzt noch normieren gibt (1/√2)*(1,1,0)^T und v'=(1/√2)*(-1,1,1)^T .

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