Bestimmen Sie die Orthonormalbasis mit dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren.

Question

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis mit dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren für den von den Vektoren

v1 = (3,1,−1,3)⊤, v2 = (−5,1,5,−7)⊤ und v3 = (4,4,2,2)⊤ 

 aufgespannten Untervektorraum des R^4.

Hallo :)

Ich weiß  nicht direkt wie ich es lösen soll, also ich weiß wie das Verfahren funktioniert, aber was muss ich beachten, da es sich um einen Untervektorraum des R^4 handelt?

und was bedeutet das hoch T ??

Vielen dank für die antworten!

Answer 1

1. Was bedeutet das "hoch T"?

-> Das bedeutet "transponiert". Ein Vektor wird ja eigentlich untereinander geschrieben. Damit man sich die Arbeit spart kann man aber auch einfach den Vektor in einer Zeile schreiben und angeben das er transponiert werden muss in seiner richtigen Darstellung.

$$ (1,2,3)^T = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} $$

2. Was muss ich beachten wegen Untervektorraum.

Bevor du das Verfahren anwenden kannst muss dir erstmal klar sein, was die Basis des Untervektorraums ist der von den Vektoren aufgespannt ist. In diesem Fall sind es nicht alle 3 Vektoren.

Gruß

Comments

vielen dank!

also ich würde L*v1 + L*v2 = v3 rechnen, da erkenne ich das die Vektoren linear abhängig sind.

Und ich würde sagen, weil ich das so gerechnet habe, kann ich die Basis nur mit v1 und v2 bilden. Richtig?

und dann kann ich damit e1 und e2 ausrechnen?

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Jap genau. Wobei du ja beim Verfahren selbst schon die Vektoren normierst. :).

Answer 2

Du kannst das Verfahren ganz normal anwenden,sobald du eine Basis des Untervektorraumes hast.

Das ^T heißt transponiert. Also Zeilen werden zu Spalten und umgekehrt.

Also:

1

2

3

Transponiert ist :

1 2 3

Oder

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Transponiert ist:

1 4 7

2 5 8

3 6 9