Hallo Peter,
Ich habe die Vermutung dass man es vielleicht mit dem Gram-Schmidt Verfahren funktionieren könnte ...
Das Gram-Schmidt-Verfahren dient dazu, eine Orthonormalbasis zu berechnen. Hier sollst Du aber nur zeigen, dass eine solche vorliegt.
Stehen die drei Vektoren paarweise orthogonal zu einander? $$v_1 \perp v_2 ? \quad v_1 \cdot v_2 = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{\sqrt 3 \cdot \sqrt 6} = 0 \space \checkmark$$für die beiden ist das erfüllt. Prüfe die anderen beiden Paare \(v_1 \perp v_3\) und \(v_2 \perp v_3\).
Haben die Vektoren die Länge \(1\)? $$|v_1| = 1 ? \quad |v_1| = \frac 1{\sqrt 3} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = 1 \space \checkmark$$Prüfe auch die anderen beiden.
Ist das alles erfüllt, dann ist \(\{v_1, \, v_2, \, v_3\}\) eine Orthonormalbasis im \(\mathbb R^3\)
Stellen sie außerdem den Vektor v= (1, 4, 5) als Linearkombination dieser Basisvektoren dar.
Das heißt, es ist das Tripel \(x,\, y,\, z\) zu finden, für das gilt:$$v_1 x + v_2 y + v_3 z = v$$Das ist ein lineares Gleichungssystem, das solltest Du lösen können. Zur Kontrolle:$$x = \frac{10}{\sqrt 3}, \quad y = - \frac{5}{\sqrt 6}, \quad z = - \frac{3}{\sqrt 2}$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
