Polynomdivision in Z3 bzw. ggT von zwei Polynomen

Question

versuche grade vergeblich eine Polynomdivision in Z3 durchzuführen.

(x^5 + 1) : (x^3 + 2) = x^2  rest = -2x^2 + 1 -> x^2 + 1 (Z3)

(x^3 + 2) : (x^2 + 1) = x rest  = -x + 2 -> 2x + 2 (Z3)

(x^2 + 1) : (2x + 2) = x rest -x^2 - 2x +1 -> 2x^2 + x + 1 (Z3)

(2x^2 + x + 1) ; (2x + 2) = x rest -x + 1 -> 2x +1 (Z3)

(2x + 2) : (2x + 1) = 1 rest 1

 

Heißt es, dass ggT((x^5 + 1), (x^3 + 2)) = 1?

Answer 1

(x⁵ + 1) : (x³ + 2) = x²  rest = -2x² + 1 -> x² + 1 (Z3)

(x³ + 2) : (x² + 1) = x rest  = -x + 2 -> 2x + 2 (Z3)

(x² + 1) : (2x + 2) = x rest -x² - 2x +1 -> 2x² + x + 1 (Z3)

(2x² + x + 1) ; (2x + 2) = x rest -x + 1 -> 2x +1 (Z3)

(2x + 2) : (2x + 1) = 1 rest 1

Heißt es, dass ggT((x⁵ + 1), (x³ + 2)) = 1?

Scheint mir ein etwas umständliches Verfahren. Aber es sollte eigentlich funktionieren.