Berechnen sie den ggt von zwei Polynomen

Question

Hallo in die Runde.

Und zwar sollen wir den ggt von zwei Polynomen berechnen. Dies ist für mich eigentlich recht einfach zu lösen, da ich da wenig Probleme habe. Bei der Aufgabe hier hänge ich aber.

Gegeben seien die Polynome f(X)= x^4-x^3+3x-3 und g(X)= x^3-x+1

Ich habe die Aufgabe bis zu dem Schritt

(x^2+x-2)/2x-1 schon gelöst.

Hier hänge ich jetzt allerdings. Denn hier erhalte ich als Rest dann -5/4.

Wie mache ich hier weiter?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen SIe den ggt von zwei Polynomen f und g

Stichworte: ggt,polynom

Hallo in die Runde.

Und zwar soll ich den ggt der beiden Polynome f(x)= x^4-x^3+3x-3 und g(x)=x^3-x+1 berechnen und Polynome a,b derart finden, dass

a(x)f(x)+b(x)g(x)=h(x) ist.

Zunächst zum ggt:

(x^4-x^3+3x-3)=(x-1)(x^3-x+1)+(x^2+x-2)

⇒ (x^3-x+1)=(x-1)(x^2+x-2)+(x-1)

⇒ (x^2+x-2)=(2x-1)(0,5x+3/4)-5/4

Hieraus folgt das der ggt = 1 ist, richtig?

Aber wie bestimme ich jetzt hier a und b?

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Bitte Fragen immer zusammen stellen.

Du kannst den erweiterten euklidischen Algorithmus benutzen um a(x) und b(x) anzugeben.

Answer 1

hallo,

f(x)= x⁴-x³+3x-3      =  (x-1) (x³+3)

g(x) =x³-x+1          = x(x-1) (x+1) +1

vielleicht hilft das weiter!

Comments

nicht wirklich, weil ich dann Rest 4 bekomme. Vielleicht bin ich auch einfach zu doof für die Aufgabe......

Ich verstehe einfach nicht, wann als ggt 1 raus kommen kann, so wie bei der Aufgabe hier. Weil normalerweise hört man ja auf, wenn man Rest 0 hat, das ist aber bei den Polynomen, wo der ggt = 1 ist nie gegeben. Da liegt mein Problem

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Kleiner Tipp: Wenn der größte gemeinsame Teiler 1 ist, dann gibt es keinen gemeinsamen Teiler außer die 1. Die beiden Polynome sind also teilerfremd und demnach kann die Polynomdivision nicht ohne Rest enden. Daraus kannst du dann folgen, dass der ggT 1 sein muss.

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Super danke schonmal.

Kannst du mir vielleicht noch sagen, woran ich das erkenne, wann der ggt = 1 seien muss?

Weil sonst höre ich ja auf, wenn der Rest = 0 ist. Aber hier?

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Kannst du mir vielleicht noch sagen, woran ich das erkenne, wann der ggt = 1 seien muss?

Der GGT ist 1 wenn die Polynome teilerfremd sind und das ist der Fall wenn du einen Rest ungleich 0 bekommst.

Einfachster Fall. Was ist der GGT der Polynome

f(x) = (x + 3) und g(x) = (x + 1) ?

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Der ggt müsste 1 sein.

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Richtig. Und das obwohl bei der Polynomdivision kein Rest von 1 heraus kommt.

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Bleiben wir mal beim einfachen Beispiel f(x) = (x + 3) und g(x) = (x + 1)

Findest du denn hier zwei Polynome a(x) und b(x) sodass

a(x) * f(x) + b(x) * g(x) = GGT(f(x), g(x)) = 1

gilt?