Aloha :)
Nimm mal eine \(n\times n\)-Matrix und multipliziere sie mit einem Vektor aus \(n\) Einsen:
$$\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n}\\x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_{i=1}^nx_{1i}\\\sum_{i=1}^nx_{2i}\\\vdots\\\sum_{i=1}^nx_{ni}\end{pmatrix}$$Wenn nun alle Zeilen dieselbe Summe haben, nennen wir sie mal \(S\), kann man diese Summe als Faktor vor den Ergebnisektor ziehen und bekommt:$$\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n}\\x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}=S\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}$$
Das ist eine Eigenwertgleichgung. Wenn die Summe aller Zeilen denselben Wert hat, ist dieser Wert ein Eigenwert der Matrix und der zugehörige Eigenvektor besteht aus lauter Einsen. Dasselbe gilt natürlich für die Spalten, weil die Determinante einer Matrix und ihrer transponierten Matrix gleich sind.
Bei einer stochastischen Matrix ist diese gemeinsame Summe gleich \(1\). Daher hat eine stochastische Matrix immer den Eigenwert \(1\) mit einem Eigenvektor, der aus lauter Einsen besteht.