Was bedeutet (1....1) im (1...1)P=(1...)?

Question

Satz. Sei P ∈ R^n×n eine stochastische Matrix.
1. P hat den Eigenwert λ₁ = 1.

Zu 1.: Da eine Matrix und ihre Transponierte das gleiche charakteristische Polynom haben, genügt es zu zeigen, dass P^t den

Eigenwert λ₁ = 1 hat. Es gilt  (1 . . . 1)P = (1 . . . 1), da P eine stochastische Matrix ist. Also ist \( \begin{pmatrix} 1\\...\\1 \end{pmatrix} \) ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 von P^t

^.

^{Frage: Was bedeutet (1...1) ?}

Answer 1

Hallo,

das \((1 \ldots 1)  \) steht für einen Zeilenvektor, bei dem alle Komponenten gleich 1 sind, nennen wir den mal v. Das Vektor-Matrix Produkt \(v P\) ergibt dann einen Zeilenvektor mit den Spaltensummen von P, also jeweils 1. Daher \(vP=v\). Transponiert: \(P^Tv^T=v^T\). Also ist \(v^T\) ein Eigenvektor von \(P^T\) zum Eigenwert 1.

Gruß

Answer 2

Aloha :)

Nimm mal eine \(n\times n\)-Matrix und multipliziere sie mit einem Vektor aus \(n\) Einsen:

$$\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n}\\x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_{i=1}^nx_{1i}\\\sum_{i=1}^nx_{2i}\\\vdots\\\sum_{i=1}^nx_{ni}\end{pmatrix}$$Wenn nun alle Zeilen dieselbe Summe haben, nennen wir sie mal \(S\), kann man diese Summe als Faktor vor den Ergebnisektor ziehen und bekommt:$$\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n}\\x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}=S\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}$$

Das ist eine Eigenwertgleichgung. Wenn die Summe aller Zeilen denselben Wert hat, ist dieser Wert ein Eigenwert der Matrix und der zugehörige Eigenvektor besteht aus lauter Einsen. Dasselbe gilt natürlich für die Spalten, weil die Determinante einer Matrix und ihrer transponierten Matrix gleich sind.

Bei einer stochastischen Matrix ist diese gemeinsame Summe gleich \(1\). Daher hat eine stochastische Matrix immer den Eigenwert \(1\) mit einem Eigenvektor, der aus lauter Einsen besteht.