Nullstellen einer Gleichung vierten Grades finden. -x^4 + 6x^2 - 5=0

Question

kann mir vielleicht jemand helfen die folgende Gleichung umzustellen:

-x⁴+6x²-5=0

Irgendwie komme ich auf keinen richtigen Nenner. Ich habe die Nullstelle : x₁= -1 geraten aber an der Polynomdivison scheitere ich leider.

Gruß

Answer 1

Also: deine erratene Nullstelle stimmt :)

Dann wollen wir mal eine Polynomdivision durchführen:

 (-x⁴          +6x²          -5):(x+1)=-x³ + x² + 5x -5x
-(-x⁴ - x³)
         ( x³ + 6x² )
       -( x³ +    x²)
                  (5x²)
                 -(5x² +5x)
                           (-5x -5)
                          -(-5x -5)
                                    0

Kannst du meine Rechnung nachvollziehen? :)

Comments

Ehrlich gesagt leider nein. Laut Wolfram Alpha müsste als Ergebnis der Division das Polynom:

-x³-x²+5x+5   herauskommen. Oder übersehe ich da was? Würde mich über eine Antwort freuen.

Gruß Nick

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Also ich komme auf das selbe Ergebnis wie jane und sehe auch in der Rechnung keinen Fehler.. bis auf die - 5x am Ende, das x gehört da natürlich nicht hin, aber das war auch wahrscheinlich nur ein Tippfehler. :D

 

Ganz nebenbei angemerkt gibt es in dem Fall auch noch eine andere Variante, die Nullstellen zu bestimmen: Substitution. Dies ist aber auch nur möglich, weil kein x³ und kein x vorhanden ist.

-x⁴ + 6x² - 5 = 0
x⁴ - 6x² + 5 = 0

Substitution bedeutet einfach, dass man das x² vorübergehend durch ein z ersetzt. Also:

z² - 6z + 5 = 0   | pq-Formel
z = 1   ∨   z = 5

Nun wird wieder rücksubstituiert, das z wird wieder durch x² ersetzt.

x² = 1   ∨   x² = 5
x = 1   ∨   x = -1   ∨   x = √5   ∨   x = -√5

Damit hätte man ganz ohne Polynomdivision die Nullstellen berechnet. Aber das ist, wie gesagt, auch nur in diesem Sonderfall möglich, wenn kein x mit ungeradem Exponent vorhanden ist. :)

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Vielen Dank für deinen Aufwand. Substituieren kann ich. Nur mit der Polynomdivision habe ich so meine Schwierigkeiten. Deshalb wollte ich sie üben. Dennoch Danke euch nochmals. Ich muss  das nochmal in Ruhe durchgehen. Euch noch einen schönen Abend. ;)

 

Gruß Nick

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ja, das -5x sollte -5 sein, war ein Tippfehler :D
 

Ich hatte vorher noch nie etwas von substituieren gehört, wir hatten das zwar im Unterricht mal benutzt, aber nie unter diesem Begriff :D
und daran hab ich auch gar nicht gedacht.

Answer 2

-x⁴ + 6x² - 5 = 0

Dies ist eine biquadratische Gleichung. Wir ersetzen x^2 = z bzw. x = +-√z

-z^2 + 6z - 5 = 0
z^2 - 6z + 5 = 0

Mit der pq-Formel kommen wir auf die Lösung

z1 = 1 oder z2 = 5

Nun rechnen wir die eigentlichen Lösungen über x = +-√z aus.

x1 = √1 = 1
x2 = -√1 = -1
x3 = √5
x4 = -√5

Damit haben wir dann 4 Lösungen.