Ganzrationale Funktion vierten Grades. Nullstellen: fa(x)=x^4-(a+4)x²+4a²

Question

Hallo :)

Hier die Aufgabe:

fa(x)=x^4-(a+4)x²+4a² Nullstellenbestimmung, a eleentR

Da man sich das Leben ja nicht unnötig schwer machen soll, wähle ich hier die Substitutionsmethode und ersetze x² durch z. Dann habe ich-

z²-(a+4)z+4a² als Funktion. Ich rechne mit der abc-Formel und nicht mit der p+q und bitte auch keine quadratische Ergänzung durchführen, wirklich nur abc-Formel.

Ich bin mir bei den Koeffizienten nicht sicher: a=1, b=(a+4) oder -(a+4), da bin ich mir unsicher und c=4a²

Ich habe jetzt mit b=(a+4) gerechnet und komme dann bei der Diskriminante, wenn ich b²-4ac ausmultipliziere auf -15a²+8a+16. Falls dies richtig ist, weis ich nicht mehr weiter und falls falsch bitte ausführlich Schritt für Schritt die abc-Formel erklären.

 

LG

Simon

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b=(a+4) oder -(a+4)

Du musst b = -(a+4) = -a-4 nehmen.

EDIT: Ich habe 4. Grades draus gemacht.

Answer 1

f(x) = x^4 - (a + 4)·x^2 + 4·a^2 = 0

Substitution hast du schon richtig gemacht

z^2 - (a + 4)·z + 4·a^2 = 0

a = 1

b = -a - 4

c = 4·a^2

abc-Formel

z = (-b ± √(b^2 - 4·a·c))/(2·a)

z = (-(-a - 4) ± √((-a - 4)^2 - 4·1·(4·a^2)))/(2·1)

z = (a + 4 ± √(- 15·a^2 + 8·a + 16)) / 2

Hier sehe ich schon keine Möglichkeit mehr das zu vereinfachen :( Also bleibt nur jetzt noch x als die Wurzel davon anzugeben.

x = ± √((a + 4 ± √(- 15·a^2 + 8·a + 16)) / 2)

Vielleicht hat sonst jemand eine Idee zur Vereinfachung.

Comments

Warum steht in der Überschrift ganzrationale Funktion 3. Grades wenn es eigentlich eine vierten Grades ist ?

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Danke Mathecoach!

Soweit wie du bin auch gekommen. Bin jetzt schon mal froh richtig gerechnet zu habn, außer das mit dem b. Allerdings soll ich ja die Nullstellen bestimmen. Wenn du das vll. noch ausführen könntest, auch in Abhängigkeit von a, ist ja egal.

 

Und muss ich die Fallunterscheidung dann machen?

Answer 2

z²-(a+4)z+4a² = 0

a=1, b= -a-4, c = 4a^2

D = b^2 - 4ac = (-a-4)^2 - 4a^2 = a^2 + 8a + 16 - 16a^2 = -15a^2 + 8a + 16

z_1,2 = 1/2 ( 4+a ± √ (16 + 8a - 15a^2))

x_1,2,3,4 = ±√ ( ( 4+a ± √ (16 + 8a - 15a^2) / 2 )

Weiter vereinfachen kann man das wohl nicht.

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Hast du dich nicht verrechnet bei -4ac?

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Immer noch verrechnet?

Die 4 möglichen Nullstellen in Abhängigkeit von a sind schon angegeben.

In Abhängigkeit von a kann man höchstens noch unterscheiden, wieviele Nullstellen tatsächlich vorhanden sind.

Löse als Erstes:

16 + 8a - 15a² = 0

0 = 15a^2 - 8a - 16

a1 = -4/5 und a2 = 4/3

Für -4/5 < a < 4/3 hat die innere Wurzel 2 Werte.

Für a = -4/5 und für a=4/3 ist die innere Wurzel 0.

a< -4/5 und a> 4/3 bedeutet: keine Nullstelle.

Jetzt in den Fällen, in denen es Nullstellen geben könnte noch die äussere Wurzel untersuchen.

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Nein ;)

Aber zurück zur Aufgabe. Ich muss ja die Nullstellen in Abhängigkeit von a ermitteln. Wie gehe ich da jetzt weiter vor?

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Du hast die Nullstellen in Abhängigkeit von a ja schon ermittelt nur eben als ungünstigen Term, den man nicht mehr vereinfachen kann. Aber hast du jetzt ein a gegeben kannst du damit die Nullstellen leicht ausrechnen.

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Ja und bezüglich die Fallunterscheidung?

Wenn a ja negativ wäre, hätte ich keine Nullstellen, was muss ihc sonst noch beachten?

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Hat sich erledigt, sorry^^.

Steht ja schon oben!

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Du musst erst mal das Vorzeichen der Diskriminante ansehen. Fallunterscheidung von innen her habe ich oben inzwischen begonnen. OK. Du hast du gesehen!

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Habe mir das gerade gesehen. Ich schreibe das zwar immer mit -unendlich und +endlich hin als Menge eben aber so stimmts ja auch. Was ist die äußere Wurzel? Und inwiefern brauche ich die denn für die Nullstellen? Ich meine, du hast ja schon unterschieden wann die Funktion zwei, eine oder keine Nullstellen hat.

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Man musste ja am Schluss noch rücksubstituieren. Da z = x^2 ist dann x = ±√z.

Ist z selbst neg., gibt's kein x.

für z=0 gibt es nur ein x

für jedes z>0 zwei Nullstellen.

Maximal die 4 Nullstellen, die in dieser Formel erwähnt sind:

x_1,2,3,4 = ±√ ( ( 4+a ± √ (16 + 8a - 15a²) / 2 )

rot: äussere Wurzel, blau: innere Wurzel.

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Verstehe ich aber wieso habe ich überhaupt die innere Wurzel ausgerechnet?

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Um zu sehen ob man das irgendwie vereinfachen kann.

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Du wolltest ja unbedingt noch eine Fallunterscheidung. Und dann musst du mit der ersten Wurzel beginnen, um zu wissen, wieviele z du hast.

Answer 3

\(f_a(x)=x^4-(a+4)x^2+4a^2\)

\(x^4-(a+4)x^2+4a^2=0\)

\(x^4-(a+4)x^2+(\frac{a+4}{2})^2=-4a^2+(\frac{a+4}{2})^2\)

\((x^2-\frac{a+4}{2})^2=-4a^2+(\frac{a+4}{2})^2=-\frac{15}{4}a^2+2a+4   |±\sqrt{~~}\)

\(1.)\)

\(x^2-\frac{a+4}{2}=\sqrt{-\frac{15}{4}a^2+2a+4}\)

\(x^2=\frac{a+4}{2}+\sqrt{-\frac{15}{4}a^2+2a+4}  |±\sqrt{~~}\)

\(x_1=\sqrt{\frac{a+4}{2}+\sqrt{-\frac{15}{4}a^2+2a+4}}\)

\(x_2=-\sqrt{\frac{a+4}{2}+\sqrt{-\frac{15}{4}a^2+2a+4}}\)

\(2.)\)

\(x^2-\frac{a+4}{2}=-\sqrt{-\frac{15}{4}a^2+2a+4}\)

\(x^2=\frac{a+4}{2}-\sqrt{-\frac{15}{4}a^2+2a+4}  |±\sqrt{~~}\)

\(x_3=\sqrt{\frac{a+4}{2}-\sqrt{-\frac{15}{4}a^2+2a+4}}\)

\(x_4=-\sqrt{\frac{a+4}{2}-\sqrt{-\frac{15}{4}a^2+2a+4}}\)